Question

Помогите решить задачи:Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной 2√6.Боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов.Найти S боковой поверхности вписанного в пирамиду конуса.Расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 2 см.S сечения равна 12 см².Найти радиус шара

Answer 1

1) Апофема А правильной четырехугольной пирамиды со стороной 2√6 соответствует гипотенузе треугольника с катетами (2√6 /2 = √6, он же и радиус основания конуса R) и высотой Н.
Она наклонена к плоскости основания под углом 60 (как высота боковой грани). Отсюда А = √6 / cos 60° = √6 *2 / 1 = 2√6.
Sбок = А*(2πR) = 2√6(2π√6) = 24π кв.ед.
2) S = πr² = 12π
r² = 12
R =√(r²+2²) = √(12+4) = √16 = 4 см.

Answer 2

Давайте решим задачу по шагам.

1. Найти боковую поверхность пирамиды (S):

Для правильной четырехугольной пирамиды со стороной a и высотой h боковая поверхность (S) вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} P_l \cdot l \]

где \( P_l \) - периметр основания, \( l \) - длина боковой грани.

В данном случае у нас правильная четырехугольная пирамида, и угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60 градусам. Это означает, что треугольник, образованный боковой гранью, основанием и высотой пирамиды, является равносторонним.

Таким образом, длина боковой грани \( l \) равна стороне основания \( a \). Периметр основания \( P_l \) равен \( 4a \).

\[ l = a \] \[ P_l = 4a \]

Теперь можем подставить значения в формулу для боковой поверхности \( S \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot a = 2a^2 \]

2. Найти объем пирамиды (V):

Объем правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_b \cdot h \]

где \( S_b \) - площадь основания, а \( h \) - высота пирамиды.

В данном случае площадь основания \( S_b \) равна площади квадрата со стороной \( a \), то есть \( a^2 \). Угол наклона боковой грани не влияет на эту площадь.

\[ S_b = a^2 \]

Также нам дана высота пирамиды \( h \). Так как у нас пирамида со стороной \( a \), то высота \( h \) будет связана с длиной боковой грани \( l \) и углом наклона 60 градусов следующим образом:

\[ h = l \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим значения в формулу для объема \( V \):

\[ V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ V = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot a^3 \]

3. Найти площадь сечения конуса (S_cone):

Площадь сечения конуса можно найти, используя аналогичную формулу:

\[ S_{\text{cone}} = \frac{1}{2} P_c \cdot l_c \]

где \( P_c \) - периметр основания конуса, \( l_c \) - длина образующей конуса.

Так как у нас вписанный конус, основание которого - это основание пирамиды, а образующая - это высота пирамиды, то:

\[ P_c = 4a \] \[ l_c = h \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ S_{\text{cone}} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ S_{\text{cone}} = 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ S_{\text{cone}} = a^2 \cdot \sqrt{3} \]

4. Найти радиус вписанного в пирамиду шара (R_sphere):

Теперь у нас есть площадь сечения конуса \( S_{\text{cone}} \), расстояние от центра шара до секущей плоскости (h) и площадь сечения (S) равна 12 см².

\[ h = 2 \, \text{см} \] \[ S = 12 \, \text{см}^2 \] \[ S_{\text{cone}} = a^2 \cdot \sqrt{3} \]

Мы знаем, что площадь сечения конуса связана с площадью сечения шара следующим образом:

\[ S_{\text{sphere}} = \pi R_{\text{sphere}}^2 \]

где \( R_{\text{sphere}} \) - радиус вписанного в пирамиду шара.

Также, известно, что \( S_{\text{sphere}} = S - S_{\text{cone}} \). Таким образом,

\[ \pi R_{\text{sphere}}^2 = S - S_{\text{cone}} \]

\[ \pi R_{\text{sphere}}^2 = 12 - a^2 \cdot \sqrt{3} \]

\[ R_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{12 - a^2 \cdot \sqrt{3}}{\pi}} \]

Теперь, подставим значение стороны основания \( a \) и найдем радиус шара:

\[ R_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{12 - (2\sqrt{6})^2 \cdot \sqrt{3}}{\pi}} \]

\[ R_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{12 - 24 \cdot \sqrt{3}}{\pi}} \]

\[ R_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{12 - 24 \cdot \sqrt{3}}{\pi}} \]

\[ R