Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном промежутке:f (x) = x - 1/3x^3, [-2;0]

Answer 1

1) точки экстремума

f`(x) = 1- x^2=0

x^2=1

x=-1; 1

1 не приналежит [-2, 0]

f(-1)=-1+1/3=-2/3;

 

2) на границе интервала

f(-2)=-2+1/3*8=2/3;

f(0)=0;

 

наибольшее=2/3, наименьшее=-2/3 

 

 

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x - \frac{1}{3}x^3 \) на заданном интервале \([-2; 0]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки: - Найдем производную функции \( f(x) \) по \( x \): \( f'(x) = 1 - x^2 \). - Решим уравнение \( f'(x) = 0 \) для поиска критических точек: \( 1 - x^2 = 0 \). - Решениями этого уравнения будут \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

2. Найти значения функции на концах интервала и найденных критических точках: - Вычислим значения функции \( f(x) \) в конечных точках интервала: \( f(-2) \), \( f(0) \). - Вычислим значения функции в найденных критических точках: \( f(-1) \), \( f(1) \).

3. Сравнить полученные значения: - Найдем наибольшее и наименьшее значения функции из полученных результатов.

Выполним эти шаги:

1. Найдем критические точки: Уравнение \( 1 - x^2 = 0 \) имеет два решения: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

2. Найдем значения функции: - \( f(-2) = -2 - \frac{1}{3}(-2)^3 = -2 + \frac{8}{3} = \frac{2}{3} \) - \( f(0) = 0 - \frac{1}{3}(0)^3 = 0 \) - \( f(-1) = -1 - \frac{1}{3}(-1)^3 = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \) - \( f(1) = 1 - \frac{1}{3}(1)^3 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

3. Сравним значения: - Наименьшее значение функции: \( -\frac{2}{3} \) (достигается при \( x = -1 \)). - Наибольшее значение функции: \( \frac{2}{3} \) (достигается при \( x = 1 \)).

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале \([-2; 0]\) равно \( -\frac{2}{3} \), а наибольшее значение - \( \frac{2}{3} \).