Question

Дана функция f(x)=-5+3x-x^3.Найти экстремумы функции

Answer 1

производная=$3-3x^2$

$3-3x^2=0$

$x^2=1$

x=-1 и x=1  экстремумы

-1 - точка минимума

1 - максимума

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции f(x)=-5+3x-x^3 необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3 - 3x^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x: 3 - 3x^2 = 0

Раскроем скобку и перенесем все члены в одну сторону: 3x^2 = 3

Разделим обе части уравнения на 3: x^2 = 1

Возведем обе части уравнения в квадрат: x = ±1

Таким образом, получаем две точки, в которых производная функции равна нулю: x = 1 и x = -1.

Для определения типа экстремума (максимум или минимум) необходимо проанализировать знак производной в окрестности найденных точек.

Подставим значения x = 1 и x = -1 в производную функции: f'(1) = 3 - 3(1)^2 = 0 f'(-1) = 3 - 3(-1)^2 = 0

Видим, что производная в обоих случаях равна нулю, что означает, что обе точки являются стационарными точками функции.

Для определения типа экстремума необходимо проанализировать знак второй производной функции f''(x).

Найдем вторую производную функции f''(x): f''(x) = -6x

Подставим значения x = 1 и x = -1 во вторую производную функции: f''(1) = -6(1) = -6 f''(-1) = -6(-1) = 6

Видим, что f''(1) < 0, а f''(-1) > 0. Это означает, что точка x = 1 является точкой максимума, а точка x = -1 является точкой минимума функции f(x)=-5+3x-x^3.

Таким образом, экстремумы функции f(x)=-5+3x-x^3: - точка максимума: (1, f(1)) = (1, -3) - точка минимума: (-1, f(-1)) = (-1, -7)