Question

Из точки к плоскости проведены две наклонные, образующие с данной плоскостью углы 30 и 45 градусов. Найти расстояние между основаниями наклонных , если проекция меньшей наклонной равна 3 см, а угол между проекциями наклонных -прямой.

Answer 1

Пусть точка, из которой проведены наклонные к плоскости обозначена А. Тогда перпендикуляр к плоскости - АО, наклонные АВ и АС,  В и С -  основания наклонных.
∠АВО=30° , ∠АСО=45°
Меньшая наклонная будет та, которая образует с плоскостью бОльший угол, то есть АС - мЕньшая наклонная . Значит её проекция на пл. СО=3.
Т.к. АО⊥плоскости, то АО⊥ОС и АО⊥ВО .
ΔАОС:  ∠АОС=90° , АО=ОС·tg45°=3·1=3
ΔАОВ:  ∠АОВ=90° , ВО=АО:tg30°=3:(√3/3)=3√3
ΔВОС - прямоугольный по условию  ⇒  ∠ВОС=90° ,
  ВС =√(ОВ²+ОС²)=√(27+9)=√36=6

Answer 2

Пусть основание меньшей наклонной обозначим как A, а основание большей наклонной - как B. Также обозначим точку пересечения наклонных с плоскостью как O.

По условию, проекция меньшей наклонной равна 3 см. Обозначим эту проекцию как a.

Так как угол между проекциями наклонных на плоскость - прямой, то угол между наклонными равен 90 градусов. Обозначим этот угол как α.

Также известно, что угол между плоскостью и наклонной равен 30 градусов. Обозначим этот угол как β.

Теперь применим тригонометрические соотношения для нахождения расстояния между основаниями наклонных.

1. Из треугольника AOB (прямоугольного треугольника) можно найти длину гипотенузы AB: AB = a / sin(α) = 3 / sin(45°) = 3 / (√2/2) = 6√2 см.

2. Из треугольника AOB можно найти длину стороны AO: AO = AB * sin(β) = 6√2 * sin(30°) = 6√2 * 1/2 = 3√2 см.

3. Из треугольника AOB можно найти длину стороны BO: BO = AB * cos(β) = 6√2 * cos(30°) = 6√2 * (√3/2) = 9√2 см.

Таким образом, расстояние между основаниями наклонных равно 3√2 см.