Question

Помогите решить срочно!!! интеграл (3x-1) dx/(x+1)(x-5)

Answer 1

$\int\limits { \frac{3x-1}{(x+1)*(x-5)}} \, dx$
Перед тем, как пытаться брать интеграл, разложим дробь на сумму двух простых дробей. Разложение будем искать в таком виде:
$\frac{3x-1}{(x+1)*(x-5)}= \frac{A}{x+1}+ \frac{B}{x-5} = \frac{Ax-5A+Bx+B}{(x+1)*(x-5)}=\frac{(Ax+Bx)+(B-5A)}{(x+1)*(x-5)}=$
$=\frac{x(A+B)+(B-5A)}{(x+1)*(x-5)}$
Итак, у  нас получилось, что
$\frac{3x-1}{(x+1)*(x-5)}=\frac{x(A+B)+(B-5A)}{(x+1)*(x-5)}$
Рассмотрим, полученное выражение. Знаменатели - одинаковые, а в числителе обращаем внимание на коэффициенты перед иксом и свободные члены. Справа перед иксом стоит множитель (А+В), а слева 3, т.е. А+В=3. Свободный член справа равен (В-5А), а слева (-1), т.е. B-5A = -1.
Получилась система уравнений
$\left \{ {{A+B=3} \atop {B-5A=-1}} \right.$
Из первого вычтем второе: 6А=4, или А=2/3. Находим В=3-А=3-2/3=7/3.
В итоге имеем:
$\frac{3x-1}{(x+1)*(x-5)}= \frac{2/3}{x+1}+ \frac{7/3}{x-5}$
Вот от последнего выражения и будем брать интеграл, который табличный:
$\int\limits { \frac{3x-1}{(x+1)*(x-5)}} \, dx= \int\limits { (\frac{2/3}{x+1}+ \frac{7/3}{x-5}}) \, dx = \frac{2}{3}ln(x+1)+ \frac{7}{3}ln(x-5)+C$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить этот интеграл. Для начала, давайте разложим дробь на простейшие дроби. Для этого нужно найти такие коэффициенты A и B, чтобы можно было записать исходную функцию в виде суммы двух дробей:

(3x - 1) / [(x + 1)(x - 5)] = A / (x + 1) + B / (x - 5)

Чтобы найти значения A и B, мы можем сложить правые части уравнения и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x.

(3x - 1) = A(x - 5) + B(x + 1)

Раскроем скобки и сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

3x - 1 = (A + B) x + (-5A + B)

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

A + B = 3
-5A + B = -1

Решим эту систему уравнений. Сложим оба уравнения и выразим одну переменную через другую:

A + B - 5A + B = 3 - 1
-4A + 2B = 2

Теперь выразим B через A:

2B = 4A + 2
B = 2A + 1

Подставим это значение в первое уравнение:

A + (2A + 1) = 3
3A + 1 = 3
3A = 2
A = 2/3

Теперь найдем B:

B = 2A + 1 = 2(2/3) + 1 = 4/3 + 1 = 7/3

Таким образом, мы нашли значения A и B:

A = 2/3
B = 7/3

Теперь мы можем записать исходную функцию в виде суммы двух простейших дробей:

(3x - 1) / [(x + 1)(x - 5)] = 2/3 / (x + 1) + 7/3 / (x - 5)

Теперь мы можем проинтегрировать каждую дробь по отдельности. Интеграл от первой дроби будет:

∫ [2/3 / (x + 1)] dx = (2/3) ln|x + 1| + C1

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Интеграл от второй дроби будет:

∫ [7/3 / (x - 5)] dx = (7/3) ln|x - 5| + C2

где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательное решение интеграла будет:

∫ [(3x - 1) / [(x + 1)(x - 5)]] dx = (2/3) ln|x + 1| + (7/3) ln|x - 5| + C

где C = C1 + C2 - итоговая постоянная интегрирования.

Надеюсь, это решение помогло вам. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!