Question

Помогите решить интегралы:1) dx/x^2-4x+32) xdx/x^2-13) (e^x/2+e^(-x/2)dx4) dx/Корень(7x^2-8)5) dx/x^2+6x+56) x*sinxdx7) 2+x^2/x*dx8) x^2*cosxdx

Answer 1

1)37 2)67 3) 83 4) 12 5)79 6)65 7)34 и 8) 95

Answer 2

Привет! Я могу помочь с решением интегралов, которые ты предложил. Давай разберемся с каждым из них по очереди.

1) ∫ dx / (x^2 - 4x + 3)

Для начала, давай разложим дробь на простые слагаемые:

∫ dx / (x^2 - 4x + 3) = ∫ dx / ((x - 1)(x - 3))

Теперь мы можем использовать метод частных дробей для разложения на простые слагаемые:

1/(x - 1)(x - 3) = A/(x - 1) + B/(x - 3)

A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти. Умножим обе части на (x - 1)(x - 3) и приведем подобные слагаемые:

1 = A(x - 3) + B(x - 1)

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

1x^0: 1 = -3A - B x^1: 0 = A + B

Решим эту систему уравнений:

-3A - B = 1 A + B = 0

Умножим второе уравнение на -3 и сложим его с первым:

-3A - B + 3A + 3B = 1 + 0 2B = 1

B = 1/2

Подставим B обратно во второе уравнение:

A + 1/2 = 0 A = -1/2

Теперь у нас есть разложение на простые слагаемые:

∫ dx / (x^2 - 4x + 3) = ∫ (-1/2)/(x - 1) + (1/2)/(x - 3) dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫ (-1/2)/(x - 1) dx = -1/2 * ln|x - 1| + C1 ∫ (1/2)/(x - 3) dx = 1/2 * ln|x - 3| + C2

Где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

Таким образом, окончательное решение будет выглядеть следующим образом:

∫ dx / (x^2 - 4x + 3) = -1/2 * ln|x - 1| + 1/2 * ln|x - 3| + C

2) ∫ x dx / (x^2 - 13)

Для решения этого интеграла, мы также можем использовать метод частных дробей.

∫ x dx / (x^2 - 13) = ∫ x dx / ((x - √13)(x + √13))

Разложим на простые слагаемые:

1/((x - √13)(x + √13)) = A/(x - √13) + B/(x + √13)

A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти. Умножим обе части на (x - √13)(x + √13) и приведем подобные слагаемые:

1 = A(x + √13) + B(x - √13)

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

1x^1: 0 = A + B x^0: 1 = √13A - √13B

Решим эту систему уравнений:

A + B = 0 √13A - √13B = 1

Из первого уравнения имеем A = -B. Подставим это во второе уравнение:

√13A + √13A = 1 2√13A = 1 A = 1 / (2√13)

B = -A = -1 / (2√13)

Теперь у нас есть разложение на простые слагаемые:

∫ x dx / (x^2 - 13) = ∫ (1 / (2√13)) / (x - √13) - (1 / (2√13)) / (x + √13) dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫ (1 / (2√13)) / (x - √13) dx = (1 / (2√13)) * ln|x - √13| + C1 ∫ (-1 / (2√13)) / (x + √13) dx = -(1 / (2√13)) * ln|x + √13| + C2

Где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

Таким образом, окончательное решение будет выглядеть следующим образом:

∫ x dx / (x^2 - 13) = (1 / (2√13)) * ln|x - √13| - (1 / (2√13)) * ln|x + √13| + C

3) ∫ (e^x / 2 + e^(-x / 2)) dx

Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться свойствами экспоненты и правилом линейности интеграла.

∫ (e^x / 2 + e^(-x / 2)) dx = ∫ e^x / 2 dx + ∫ e^(-x / 2) dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫ e^x / 2 dx = (1/2) ∫ e^x dx = (1/2) e^x + C1 ∫ e^(-x / 2) dx = -2 ∫ e^(-x / 2) d(-x / 2) = -2 e^(-x / 2) + C2

Где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

Таким образом, окончательное решение будет выглядеть следующим образом:

∫ (e^x / 2 + e^(-x / 2)) dx = (1/2) e^x - 2 e^(-x / 2) + C

4) ∫ dx / √(7x^2 - 8)

Чтобы решить этот интеграл, мы можем воспользоваться заменой переменных. Пусть u = 7x^2 - 8, тогда du = 14x dx.

∫ dx / √(7x^2 - 8) = (1/14) ∫ du / √u

Теперь мы можем интегрировать это выражение:

(1/14) ∫ du / √u = (1/14) * 2√u + C = (1/7)√(7x^2 - 8) + C

Где C - постоянная интегрирования.

5) ∫ dx / (x^2 + 6x + 5)

Для решения этого интеграла, мы также можем воспользоваться методом частных дробей.

∫ dx / (x^2 + 6x + 5) = ∫ dx / ((x + 1)(x + 5))

Разложим на простые слагаемые:

1/((x + 1)(x + 5)) = A/(x + 1) + B/(x + 5)

A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти. Умножим обе части на (x + 1)(x + 5) и приведем подобные слагаемые:

1 = A(x + 5) + B(x + 1)

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

1x^1: 0 = A + B x