Question

Найти промежутки возрастания , убывания и экстремумы функции f(x)= (x^2+6)/x

Answer 1

$f(x)= \frac{x^2+6}{x} \\ f'(x) = \frac{x(x^2-6)'-x'(x^2+6)}{x^2} = \frac{x^2-6}{x^2}\\\\ \frac{x^2-6}{x^2} = 0\\ \begin{cases} \ x \neq 0\\ \ x = \pm \sqrt{6} \end{cases}$
На промежутке $(-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; \infty)$ функция возрастает.
На промежутке $(-\sqrt{6}; 0) \cup (0;\sqrt{6})$ функция убывает.
Локальные экстремумы достигаются в точках  $-\sqrt{6}$ и  $\sqrt{6}$ и равны соответственно $-2\sqrt{6}(max)$ и $2\sqrt{6} (min)$

Answer 2

Для анализа возрастания, убывания и экстремумов функции f(x) = (x^2 + 6)/x, мы можем использовать производную функции. Производная позволяет нам определить, как функция меняется в разных точках и найти точки возрастания, убывания и экстремумы.

Нахождение производной

Для начала найдем производную функции f(x). Производная функции f(x) находится путем применения правил дифференцирования. Воспользуемся правилом дифференцирования для суммы и произведения функций:

f(x) = (x^2 + 6)/x

Для удобства, разделим функцию на две части:

f(x) = x^2/x + 6/x

Теперь дифференцируем каждую часть по отдельности:

f'(x) = (2x * x - x^2 * 1) / x^2 + (-6 * 1) / x^2

Упростим выражение:

f'(x) = (2x^2 - x^2) / x^2 - 6 / x^2

f'(x) = x^2 / x^2 - 6 / x^2

f'(x) = 1 - 6 / x^2

Теперь у нас есть производная функции f(x), которая равна f'(x) = 1 - 6 / x^2.

Анализ возрастания и убывания

Для определения возрастания и убывания функции, мы должны рассмотреть знак производной. Если производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает. Если производная равна нулю, то это может быть точка экстремума (максимума или минимума).

Давайте рассмотрим каждый случай:

1. Когда f'(x) > 0: В этом случае, функция f(x) возрастает. Это означает, что при увеличении значения x, значение f(x) также увеличивается. Значит, функция f(x) имеет промежутки возрастания.

2. Когда f'(x) < 0: В этом случае, функция f(x) убывает. Это означает, что при увеличении значения x, значение f(x) уменьшается. Значит, функция f(x) имеет промежутки убывания.

3. Когда f'(x) = 0: В этом случае, мы имеем точку, где производная равна нулю. Это может быть точка экстремума функции f(x), то есть точка максимума или минимума.

Нахождение экстремумов

Чтобы найти экстремумы функции, мы должны решить уравнение f'(x) = 0. В нашем случае:

1 - 6 / x^2 = 0

Умножим обе части на x^2:

x^2 - 6 = 0

Теперь решим это уравнение:

x^2 = 6

x = ±√6

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = √6 и x = -√6.

Выводы

Итак, мы проанализировали функцию f(x) = (x^2 + 6)/x и получили следующие результаты:

- Функция имеет промежутки возрастания, когда x < -√6 или x > √6. - Функция имеет промежутки убывания, когда -√6 < x < √6. - Функция имеет две точки экстремума: x = √6 и x = -√6.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять анализ возрастания, убывания и экстремумов функции f(x) = (x^2 + 6)/x. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.