Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD,все ребра равны 1,найдите косинус угла между плоскастями SAD и SBC

Answer 1

Проведём осевое сечение через апофемы противоположных граней SAD и SBC.
Боковые грани - равносторонние треугольники со сторонами по 1.
Апофема равна 1*cos 30 = √3/2.
Полученный в сечении треугольник - равнобедренный, с боковыми сторонами (апофемами) по √3/2 и основанием, равным 1(стороне квадрата в основании пирамиды). Плоскость этого треугольника перпендикулярна заданным граням, поэтому угол в вершине его - это искомый угол.
По трём сторонам треугольника находим углы по формуле:
cos B = (a²+c²-b²)/2ac.
a b c p 2p S 2 0.866025 1 0.8660254 1.3660254 2.732050808 0.35355339 0.75 1 0.75 1 cos A = 0.5773503 cos B = 0.3333333 cos С = 0.57735027 пи Аrad = 0.9553166 Brad = 1.2309594 Сrad = 0.95531662 3.141593 3.141593 Аgr = 54.73561 Bgr = 70.528779 Сgr = 54.7356103 180 - сумма углов.
cos B = ((3/4)+(3/4)-1)/(2*(√3/2)*(√3/2)) = 1/3 ≈ 0,33333.

Answer 2

Для нахождения косинуса угла между плоскостями SAD и SBC, нам нужно найти косинус угла между их нормалями.

Плоскость SAD имеет нормаль, которая является векторным произведением векторов SA и SD. Плоскость SBC имеет нормаль, которая является векторным произведением векторов SB и SC.

Найдем векторы SA, SD, SB и SC: SA = SB = SC = SD = 1 (так как все ребра равны 1)

Теперь найдем нормали плоскостей SAD и SBC: Нормаль плоскости SAD = SA x SD = (1, 0, 0) x (0, 0, -1) = (0, 1, 0) Нормаль плоскости SBC = SB x SC = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0, 0, 1)

Теперь найдем косинус угла между нормалями плоскостей, используя формулу для косинуса угла между векторами: cos(угол) = (нормаль1 * нормаль2) / (|нормаль1| * |нормаль2|)

где нормаль1 * нормаль2 - скалярное произведение нормалей плоскостей, |нормаль1| и |нормаль2| - длины нормалей плоскостей.

Вычислим значения: нормаль1 * нормаль2 = (0, 1, 0) * (0, 0, 1) = 0 |нормаль1| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = 1 |нормаль2| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1

Подставим значения в формулу для косинуса угла: cos(угол) = (0) / (1 * 1) = 0

Таким образом, косинус угла между плоскостями SAD и SBC равен 0.