Question

Помогите пожалуйста, Исследовать график с помощью производной: y=3x^2-x^3

Answer 1

Y=3x²-x³   x=0 y=0   x=3  y=0  корни
y'=6x-3x²=3x(2-x)  критич. точки х=0   х=2
----------------0---------------- 2--------------------
       -                       +                      -
убывает         возрастает         убывает
х=0  у=0  минимум   х=2  у=4  максимум

y''=6-6x    6-6x=0   x=1 точка перегиба   до х=1 выпукла вниз, затем вверх

Answer 2

Для исследования графика функции y = 3x^2 - x^3 с помощью производной, мы можем использовать производную для определения экстремумов, точек перегиба и поведения функции в различных интервалах.

Нахождение производной

Для начала найдем производную функции y = 3x^2 - x^3. Производная позволяет нам определить скорость изменения функции в каждой точке графика.

Производная функции y = 3x^2 - x^3 можно найти путем применения правил дифференцирования. В данном случае, мы можем использовать правило степенной функции и правило вычитания:

y' = d/dx (3x^2 - x^3) = d/dx (3x^2) - d/dx (x^3) = 6x - 3x^2

Таким образом, производная функции y = 3x^2 - x^3 равна y' = 6x - 3x^2.

Определение экстремумов

Экстремумы функции - это точки, где функция достигает максимума или минимума. Чтобы найти экстремумы, мы можем приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

6x - 3x^2 = 0

Факторизуем это уравнение:

3x(2 - x) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения x, которые могут дать нам экстремумы: x = 0 и x = 2.

Определение поведения функции в различных интервалах

Чтобы определить поведение функции в различных интервалах, мы можем использовать знаки производной. Если производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Давайте посмотрим на интервалы между экстремумами и за пределами экстремумов:

1. При x < 0: Подставим x = -1 в производную функции y' = 6x - 3x^2: y' = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9

Так как производная отрицательна (y' < 0), функция убывает на этом интервале.

2. При 0 < x < 2: Подставим x = 1 в производную функции y' = 6x - 3x^2: y' = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3

Так как производная положительна (y' > 0), функция возрастает на этом интервале.

3. При x > 2: Подставим x = 3 в производную функции y' = 6x - 3x^2: y' = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9

Так как производная отрицательна (y' < 0), функция убывает на этом интервале.

Точки перегиба

Точки перегиба - это точки, где функция меняет свое выпуклое или вогнутое направление. Чтобы найти точки перегиба, мы можем проанализировать знак второй производной.

Вторая производная функции y = 3x^2 - x^3 можно найти путем дифференцирования первой производной:

y'' = d/dx (6x - 3x^2) = 6 - 6x

Чтобы найти точки перегиба, мы должны приравнять вторую производную к нулю и решить полученное уравнение:

6 - 6x = 0

Решая это уравнение, мы получаем x = 1.

Таким образом, точка перегиба функции y = 3x^2 - x^3 находится при x = 1.

Итоговый вывод

Исследование графика функции y = 3x^2 - x^3 с помощью производной позволяет нам определить экстремумы, точки перегиба и поведение функции в различных интервалах. Мы нашли два экстремума при x = 0 и x = 2, точку перегиба при x = 1, и определили, что функция убывает на интервалах x < 0 и x > 2, а возрастает на интервале 0 < x < 2.

Обратите внимание: Все предоставленные факты и выводы были основаны на математических вычислениях и использовании производной функции y = 3x^2 - x^3.

Answer 3

Я попробую помочь вам исследовать график функции y=3x^2-x^3 с помощью производной. Вот мои шаги:

1) Найдем производную функции y=3x^2-x^3 по правилу производной степенной функции: y'=6x-3x^2. 2) Найдем точки, в которых производная равна нулю, решая уравнение 6x-3x^2=0. Отсюда получаем x=0 или x=2. Это кандидаты на точки экстремума функции y. 3) Найдем знак производной на интервалах (-∞, 0), (0, 2) и (2, +∞), подставляя в y' произвольные значения x из этих интервалов. Например, для интервала (-∞, 0) можно взять x=-1 и получить y'(-1)=9, что означает, что производная положительна на этом интервале. Аналогично, для интервала (0, 2) можно взять x=1 и получить y'(1)=-3, что означает, что производная отрицательна на этом интервале. Для интервала (2, +∞) можно взять x=3 и получить y'(3)=9, что означает, что производная снова положительна на этом интервале. 4) Сделаем вывод о монотонности и экстремумах функции y на основе знака производной. Функция y возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), а убывает на интервале (0, 2). Следовательно, в точке x=0 функция y имеет локальный максимум, равный y(0)=0, а в точке x=2 функция y имеет локальный минимум, равный y(2)=-4. 5) Найдем точки пересечения графика функции y с осями координат, приравнивая y к нулю и x к нулю. Из y=0 следует, что x=0 или x=±√3. Из x=0 следует, что y=0. Значит, график функции y пересекает ось x в точках (0, 0), (√3, 0) и (-√3, 0), а ось y в точке (0, 0). 6) Построим график функции y, используя найденные точки и свойства производной. График будет иметь вид:

![График функции y=3x^2-x^3](https://i.imgur.com/8YqoQbP.png