Question

Найти наименьшее значение выражения, где x и y – любые действительные числа:4x^2+4y^2-8xy+6x-6y+4помогите решитьp.s. пробовал свернуть в формулы , но все равно остается лишнее

Answer 1

Нужно представить это выражение в виде функции:
f = 4(x - y)^2 +6(x - y) + 4.
Приняв х - у = z, получим квадратичную функцию - f = 4z^2 + 6z + 4.
Для нахождения минимума этой функции необходимо взять  её производную и приравнять её нулю:
 8z + 6 = 0       z = -6 / 8 = -0.75.
Минимум функции будет - 4*(-0,75)^2 + 6*(-0.75) + 4 = 1.75.
Т.е. при любых значениях х и у при условии (х - у = 1,75) будет минимальное значение выражения 4x^2+4y^2-8xy+6x-6y+4, например:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2,75
y -5,75 -4,75 -3,75 -2,75 -1,75 -0,75 0,25 1,25 2,25 1
f = 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения, нужно найти его минимум. Для этого можно воспользоваться методом дифференциального исчисления.

1. Найдем частные производные выражения по переменным x и y: ∂(4x^2 + 4y^2 - 8xy + 6x - 6y + 4)/∂x = 8x - 8y + 6 ∂(4x^2 + 4y^2 - 8xy + 6x - 6y + 4)/∂y = 8y - 8x - 6

2. Решим систему уравнений, приравняв частные производные к нулю: 8x - 8y + 6 = 0 8y - 8x - 6 = 0

3. Решим эту систему уравнений. Первое уравнение можно преобразовать: 8x - 8y = -6 x - y = -3/4 x = -3/4 + y

Подставим найденное значение x во второе уравнение: 8y - 8(-3/4 + y) - 6 = 0 8y + 6y + 6 - 6 = 0 14y = 0 y = 0

Подставим найденное значение y в первое уравнение: x - 0 = -3/4 x = -3/4

4. Получили значения x = -3/4 и y = 0. Подставим их в исходное выражение: 4(-3/4)^2 + 4(0)^2 - 8(-3/4)(0) + 6(-3/4) - 6(0) + 4 9/4 + 0 + 0 - 9/2 + 0 + 4 9/4 - 9/2 + 4 9/4 - 18/4 + 16/4 -9/4 + 16/4 7/4

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 7/4.