Question

Найти промежутки монотонности функции: у=1+3х-х^3

Answer 1

Посчитаем производную данной функции: y'=3-3x^2. Приравняем производную к нулю. 3-3x^2=0; x=-1, x=1.
На промежутке от минус бесконечности до -1 и от 1 до плюс бесконечности производная отрицательная, следовательно, функция убывает.
На промежутке [-1;1] производная положительна --> функция возрастает.
ОТВЕТ: y убывает при x (-∞;-1] и [1;+∞);
              y возрастает при x [-1;1].

Answer 2

Для определения промежутков монотонности функции у = 1 + 3х - х^3, мы должны анализировать производную этой функции и ее изменение на различных интервалах.

Вычисление производной

Для начала найдем производную функции у. Производная показывает скорость изменения функции в каждой точке.

У нас дана функция у = 1 + 3х - х^3. Чтобы вычислить производную, возьмем производные от каждого слагаемого по отдельности.

Производная слагаемого 1 будет равна 0, так как константа не влияет на скорость изменения функции.

Производная слагаемого 3х будет равна 3, так как константа 3 выносится вперед, а производная x равна 1.

Производная слагаемого -х^3 будет равна -3х^2, так как производная x^3 равна 3x^2, а знак минус сохраняется.

Теперь сложим все полученные производные, чтобы получить производную функции у:

y' = 0 + 3 - 3х^2 = 3 - 3х^2

Анализ промежутков монотонности

Теперь, когда у нас есть производная функции, мы можем проанализировать ее знаки на различных интервалах, чтобы определить промежутки монотонности.

Для этого уравнения производной y' = 3 - 3х^2, нам нужно найти значения x, при которых y' = 0. То есть, мы должны решить уравнение:

3 - 3х^2 = 0

Перенесем 3 на другую сторону уравнения:

3х^2 = 3

Разделим обе части на 3:

х^2 = 1

Возведем обе части в квадрат:

х = ±1

Таким образом, у нас есть две критические точки x = -1 и x = 1.

Промежутки монотонности

Теперь мы можем анализировать знаки производной на различных интервалах, используя критические точки и другие точки в интервалах.

1) Когда x < -1: Подставим x = -2 в y' = 3 - 3х^2: y' = 3 - 3(-2)^2 = 3 - 3(4) = 3 - 12 = -9 Знак производной отрицательный (y' < 0), следовательно, функция убывает на этом интервале.

2) Когда -1 < x < 1: Подставим x = 0 в y' = 3 - 3х^2: y' = 3 - 3(0)^2 = 3 - 3(0) = 3 - 0 = 3 Знак производной положительный (y' > 0), следовательно, функция возрастает на этом интервале.

3) Когда x > 1: Подставим x = 2 в y' = 3 - 3х^2: y' = 3 - 3(2)^2 = 3 - 3(4) = 3 - 12 = -9 Знак производной отрицательный (y' < 0), следовательно, функция убывает на этом интервале.

Вывод

Исходя из анализа знака производной, мы можем сделать следующие выводы о промежутках монотонности функции у = 1 + 3х - х^3:

- Функция убывает на интервале x < -1 и x > 1. - Функция возрастает на интервале -1 < x < 1.

Обратите внимание, что на критических точках x = -1 и x = 1 функция имеет точку экстремума, но мы не можем сказать, является ли она минимумом или максимумом без дополнительного анализа.