Question

На поляне растут 2014 сосен, высота каждой из которых равна среднему арифметическому двух соседних. Докажите, что все деревья одинаковой высоты. Подсказка: предположите, что деревья имеют различную высоту.

Answer 1

Смотря как располагаются деревья:если в ряд,то высота не обязательно может быть одинаковой.Самое первое дерево равняется 1м,а каждое следущее на 1 метр выше.(но встает вопрос о первом и последнем дереве)...если они по кругу то да,рост их должен быть одинаковый.к примеру если взять пример что рост каждого следущего на 1 метр отличается от предыдущего.

Деревья стоят по кругу(самое простое)
Высота
1м 2м 3м 4м .... 2014м
Если будет складывать высота 2-го дерева=1/2(1м+3м)=2м,все нормально,а вот высота последнего:1/2(2013+1)=1007м...нестыковка...,ведь у последнего высота 2014

Answer 2

Я могу помочь вам с решением задачи по математике. Вот подробный ответ:

Пусть $h_1, h_2, ..., h_{2014}$ - высоты сосен по порядку. По условию, для любого $i$ от $1$ до $2014$ выполнено:

$$h_i = \frac{h_{i-1} + h_{i+1}}{2}$$

где $h_0 = h_{2014}$ и $h_{2015} = h_1$.

Предположим, что деревья имеют различную высоту. Тогда существует такое $i$, что $h_i > h_{i+1}$. Тогда из уравнения следует, что $h_{i-1} > h_{i+1}$, то есть $h_{i-1} > h_i > h_{i+1}$. Продолжая этот процесс, мы получим, что $h_{i-2} > h_{i-1} > h_i > h_{i+1} > h_{i+2}$ и так далее. Но тогда мы придем к противоречию, так как $h_{i-2014} = h_i > h_{i-2013} = h_{i+1}$, то есть одно и то же дерево имеет разную высоту. Значит, наше предположение неверно и все деревья одинаковой высоты.

Вы можете найти больше информации о многоугольниках и их свойствах на [этом сайте](https://www.evkova.org/mnogougolnik). Надеюсь, это было полезно.