Question

Тибетские мудрецы каждый год, начиная с 2017-го, в мае будут раскрашивать Вселенские кубы в 4 различных цвета (по одному кубу в год). Каждую грань раскрашивают полностью в один какой-то цвет, используя при раскраске каждого куба все имеющиеся цвета. Вселенских кубов бесконечно много, однако как только появятся два одинаково раскрашенных куба, наступит конец света. (Кубы одинаково раскрашены, если их раскраски можно совместить вращениями и переносами в трёхмерном пространстве.) В каком году, самое позднее, наступит конец света?*

Answer 1

Пронумеруем грани куба.
Всего будет 6! Вариантов перестановок этих граней.
Четыре цвета обязательно. На оставшиеся два места любой из четырех цветов - всего 16 вариантов сочетаний возможных цветов. У куба три независимых оси симметрии . Вокруг каждой куб можно повернуть 4 раза .
Итоговое количество вариантов
6! *16 / (4*4*4) = 180.
Конец света 2197 год.

Answer 2

Эта задача, известная как "Проблема раскраски Тибетских кубов", требует внимательного рассмотрения. Итак, каждый год мудрецы раскрашивают новый куб в один из четырех цветов, используя все доступные цвета для каждой грани куба. Если появятся два одинаково раскрашенных куба, это означает конец света.

Начнем с понимания количества возможных раскрасок для каждого нового куба. Первый куб может быть раскрашен в любой из 4 цветов. Когда появится второй куб, у нас уже есть 4 возможных цвета для грани, которые могут быть раскрашены в этом году. Поэтому на второй год возможно 4 варианта раскраски, на третий - 4 варианта и т.д. Каждый следующий год добавляет еще 4 варианта раскраски.

Теперь представим последовательность раскрасок:

- 1 год: 4 варианта - 2 год: 4 варианта * 4 (новый куб) = 16 вариантов - 3 год: 16 * 4 = 64 варианта - 4 год: 64 * 4 = 256 вариантов

И так далее.

Если рассматривать это в контексте появления одинаково раскрашенных кубов, задача сводится к поиску момента, когда появится пара одинаковых раскрасок. Это произойдет тогда, когда количество доступных раскрасок станет больше, чем 2. То есть, когда количество лет (или кубов), раскрашенных, будет больше, чем количество возможных уникальных раскрасок.

Для определения года, когда произойдет это событие, можно использовать логарифмы. Предположим, n - количество лет (или кубов), m - количество возможных уникальных раскрасок.

У нас есть формула: m^n > m (где m = 4, количество цветов).

Используем логарифмы для решения этого неравенства:

n * log(m) > log(m) n > log(m) / log(m) n > 1

Это означает, что это случится после одного года. Таким образом, наступление конца света произойдет во второй год, когда появится два одинаково раскрашенных куба.