Question

Стороны треугольника равны 5,6,8. Найдите косинусы углов треугольника

Answer 1

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} - 2bc \times cosА \\ cosА = \frac{ {b}^{2} + {c}^{2} - {a}^{2} }{2bc} \\ cosА = \frac{ {8}^{2} + {5}^{2} - {6}^{2} }{2 \times 8 \times 5} = \\ = \frac{64 + 25 - 36}{80} = \frac{53}{80} \\ cosА = \frac{53}{80}$
$cosВ = \frac{ {a}^{2} + {c}^{2} - {b}^{2} }{2ac} \\ cosВ = \frac{ {5}^{2} + {6}^{2} - {8}^{2} }{2 \times 5 \times 6} = \\ = \frac{25 + 36 - 64}{60} = - \frac{3}{60} = - \frac{1}{20} \\ cosВ = - \frac{1}{20}$
$cosС = \frac{ {a}^{2} + {b}^{2} - {c}^{2} }{2ab} \\ cosС = \frac{ {6}^{2} + {8}^{2} - {5}^{2} }{2 \times 6 \times 8} = \\ = \frac{36 + 64 - 25}{96} = \frac{75}{96} = \frac{25}{32} \\ cosС = \frac{25}{32}$

Answer 2

Для нахождения косинусов углов треугольника с известными длинами сторон можно воспользоваться формулой косинусов. Формула косинусов выглядит следующим образом:

\[ \cos(A) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}, \] \[ \cos(B) = \frac{{a^2 + c^2 - b^2}}{{2ac}}, \] \[ \cos(C) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}, \]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(A\), \(B\), и \(C\) - меры соответствующих углов.

В вашем случае, стороны треугольника равны \(a = 5\), \(b = 6\), и \(c = 8\). Подставим эти значения в формулы:

\[ \cos(A) = \frac{{6^2 + 8^2 - 5^2}}{{2 \cdot 6 \cdot 8}}, \] \[ \cos(B) = \frac{{5^2 + 8^2 - 6^2}}{{2 \cdot 5 \cdot 8}}, \] \[ \cos(C) = \frac{{5^2 + 6^2 - 8^2}}{{2 \cdot 5 \cdot 6}}. \]

Теперь вычислим числители и знаменатели:

\[ \cos(A) = \frac{{36 + 64 - 25}}{{96}} = \frac{{75}}{{96}}, \] \[ \cos(B) = \frac{{25 + 64 - 36}}{{80}} = \frac{{53}}{{80}}, \] \[ \cos(C) = \frac{{25 + 36 - 64}}{{60}} = \frac{{-3}}{{60}} = -\frac{{1}}{{20}}. \]

Таким образом, косинусы углов треугольника равны: \[ \cos(A) = \frac{{75}}{{96}}, \] \[ \cos(B) = \frac{{53}}{{80}}, \] \[ \cos(C) = -\frac{{1}}{{20}}. \]