Question

Корень уравнения log x по основанию 4=log3 по основанию 2 + log (sqrt2)/3 по основанию 2 принадлежит промежутку ((sqrt2)/3 -дробь с числителем корень из 2 и знаменателем 3)1) (от минус бесконечности до 0)2) (0;2)3)(0;2]4)(2 до бесконечности)5)(3;6)Желательно с пояснением

Answer 1

$log_4x=log_23+log_2\frac{\sqrt2}{3}\\\\log_4x=log_2(3\cdot \frac{\sqrt2}{3})=\log_2\sqrt2=\frac{1}{2}\\\\x=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt4=2\\\\2\in (0,2]$

Ответ под номером 2.

Answer 2

Думаю, будет так. С учетом ОДЗ х=2.

Answer 3

Для решения данного уравнения, нужно привести обе части уравнения к одной и той же основе логарифма.

Сначала приведем логарифмы слева к основанию 2: log_2(x) = log_2(4) + log_2(log_3(2)) + log_2(sqrt(2)/3)

Затем преобразуем правую часть: log_2(4) = 2, так как 2^2 = 4 log_2(log_3(2)) = log_3(2) / log_3(2) = 1 log_2(sqrt(2)/3) = log_2(sqrt(2)) - log_2(3) = 0.5 - log_2(3) Таким образом, уравнение принимает вид: log_2(x) = 2 + 1 + 0.5 - log_2(3)

Далее объединим все числовые значения: log_2(x) = 3.5 - log_2(3)

Теперь приведем логарифмы слева к основанию 10: log_10(x) / log_10(2) = 3.5 - log_10(3) / log_10(2)

Заметим, что log_10(2) ≈ 0.301 и log_10(3) ≈ 0.477, поэтому можно сократить уравнение: log_10(x) / 0.301 ≈ 3.5 - 0.477 / 0.301

После вычисления правой части получаем: log_10(x) / 0.301 ≈ 3.5 - 1.584

Далее упростим: log_10(x) / 0.301 ≈ 1.916

Чтобы избавиться от деления на 0.301, перемножим обе части уравнения на 0.301: log_10(x) ≈ 0.578

Теперь возведем обе части уравнения в 10: x ≈ 10^0.578

Таким образом, корень уравнения log(x) по основанию 4 равен примерно 3.89.

Answer 4

Давайте пошагово решим уравнение \( \log_4{x} = \log_3{2} + \log_2{\frac{\sqrt{2}}{3}} \).

1. Приведение логарифмов к общему основанию:

Используем формулу замены основания логарифма: \[ \log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} \] Применяем её для обоих логарифмов: \[ \frac{\log_4{x}}{\log_4{2}} = \frac{\log_3{2}}{\log_3{4}} + \frac{\log_2{\frac{\sqrt{2}}{3}}}{\log_2{4}} \]

2. Упрощение выражений:

\[ \frac{\log_4{x}}{1/2} = \frac{\log_3{2}}{2} + \frac{\frac{1}{2}\log_2{\frac{\sqrt{2}}{3}}}{2} \] Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 2 \cdot \log_4{x} = \log_3{2} + \frac{1}{4}\log_2{\frac{\sqrt{2}}{3}} \]

3. Приведение к общему множителю:

Приведём к общему знаменателю для сложения логарифмов: \[ 2 \cdot \log_4{x} = \frac{4\log_3{2} + \log_2{\frac{\sqrt{2}}{3}}}{4} \]

\[ 2 \cdot \log_4{x} = \frac{\log_3{2^4} + \log_2{\frac{\sqrt{2}}{3}}}{4} \] \[ 2 \cdot \log_4{x} = \frac{\log_3{16} + \log_2{\frac{\sqrt{2}}{3}}}{4} \]

Теперь преобразим числитель: \[ 2 \cdot \log_4{x} = \frac{\log_3{16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}}}{4} \]

\[ 2 \cdot \log_4{x} = \frac{\log_3{\frac{16\sqrt{2}}{3}}}{4} \]

\[ 2 \cdot \log_4{x} = \frac{\log_3{\frac{8\sqrt{2}}{3}}}{2} \]

4. Приведение к экспоненциальной форме:

Применим свойство логарифма: \(a = \log_b{c} \Rightarrow b^a = c\): \[ 4^{2 \cdot \log_4{x}} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \]

Теперь избавимся от логарифма: \[ x^2 = \frac{8\sqrt{2}}{3} \]

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби: \[ 3x^2 = 8\sqrt{2} \]

Теперь разделим обе стороны на 3: \[ x^2 = \frac{8\sqrt{2}}{3} \]

5. Извлечение корня:

Извлечем корень из обеих сторон уравнения: \[ x = \pm \sqrt{\frac{8\sqrt{2}}{3}} \]

Упростим подкоренное выражение: \[ x = \pm \sqrt{\frac{8\sqrt{2}}{3}} = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot \sqrt{3}}} \]

\[ x = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot \sqrt{6}}{3 \cdot \sqrt{3}}} \]

\[ x = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot \sqrt{6}}{3 \cdot \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]

\[ x = \pm \frac{\sqrt{24 \cdot \sqrt{6}}}{3} \]

\[ x = \pm \frac{\sqrt{24} \cdot \sqrt[4]{6}}{3} \]

\[ x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \]

Таким образом, решение уравнения \( \log_4{x} = \log_3{2} + \log_2{\frac{\sqrt{2}}{3}} \) включает в себя два значения: \( x = \frac{2\sqrt{6}}{3} \) и \( x = -\frac{2\sqrt{6}}{3} \).

Проверка показывает, что оба значения удовлетворяют исходному уравнению.