Question

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения f'(x)-f(п/4)=0, где f(x)=sin2x

Answer 1

F(x)=sin2x
f(π/4)=sin(2*(π/4))=sin(π/2)=1
f'(x)=(sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x
f'(x)-f(π/4)=2cos2x-1
2cos2x-1=0
cos2x=1/2
$x=+-arccos \frac{1}{2} +2 \pi n, n$∈Z
$x=+- \frac{ \pi }3}+2 \pi n, n$∈Z

$x=- \frac{2 \pi }{3}$

Answer 2

Конечно, давайте разберёмся с этим.

У нас есть уравнение \(f'(x) - f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0\) и \(f(x) = \sin(2x)\).

Первым шагом найдем производную функции \(f(x)\):

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(2x))\]

Для нахождения производной функции \(\sin(2x)\) применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

Если \(y = \sin(u)\) и \(u = 2x\), тогда:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\)

\(\frac{dy}{du} = \cos(u)\)

\(\frac{du}{dx} = 2\)

Теперь выразим производную \(\frac{d}{dx}(\sin(2x))\) через \(\cos(2x)\):

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \times 2 = 2\cos(2x)\]

Теперь подставим \(f'(x)\) и значение \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\) в уравнение:

\[f'(x) - f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos(2x) - \sin\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right)\]

\(\sin\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1\)

Таким образом, уравнение становится:

\[2\cos(2x) - 1 = 0\]

Теперь найдём корень этого уравнения. Найдем угол \(2x\), для которого \(\cos(2x) = \frac{1}{2}\), потому что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).

Таким образом, \(2x = 60^\circ + 360^\circ \times n\) или \(2x = 300^\circ + 360^\circ \times n\), где \(n\) - целое число.

Отсюда получаем, что \(x = 30^\circ + 180^\circ \times n\) или \(x = 150^\circ + 180^\circ \times n\).

Но так как мы искали корень в пределах \(-\pi\) и \(\pi\) (т.е. отрицательные корни), переведем углы в радианы: \(30^\circ\) в радианах \(= \frac{\pi}{6}\) и \(150^\circ\) в радианах \(= \frac{5\pi}{6}\).

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения \(f'(x) - f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0\) равен \(-\frac{5\pi}{6}\).