Question

Каждая грань куба разделена на 9 квадратов.Какое самое большое число квадратиков можно покрасить,чтобы никакие два покрашенных квадратика не имели общей стороны? Варианты: 16 18 20 22 30

Answer 1

На противоположных гранях (верхней и нижней) красим по 5 квадратиков,
на передней и задней по 4, а на левой и правой по 2.
Всего (5 + 4 + 2)*2 = 22 грани.
Рисунок прилагается.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

У куба 6 граней, и каждая грань разделена на 9 квадратов. Общее количество квадратов на всех гранях: 6 * 9 = 54 квадрата.

Теперь давайте рассмотрим, как можно раскрасить квадраты так, чтобы никакие два покрашенных квадрата не имели общей стороны. Мы можем начать с выбора одного квадрата. Для примера, давайте выберем один квадрат из угла. Теперь мы не можем покрасить ни один из соседних квадратов, но можем покрасить следующие два, которые не имеют общей стороны с первым.

Итак, за каждый выбранный квадрат мы можем покрасить еще три, не имеющих общей стороны с первым. Таким образом, максимальное количество квадратов, которое мы можем покрасить, равно сумме арифметической прогрессии с шагом 3:

1 + 3 + 3 + 3 + ... + 3.

Количество членов в последовательности равно количеству выбранных квадратов. Обозначим это количество буквой n.

Таким образом, сумма прогрессии равна:

\[S_n = 1 + 3n.\]

Теперь у нас есть формула для максимального количества квадратов в зависимости от количества выбранных квадратов. Мы хотим, чтобы это количество было не больше общего числа квадратов, т.е., \(1 + 3n \leq 54\).

Решим это неравенство:

\[3n \leq 53.\]

Рассмотрим целочисленные значения n. Мы видим, что \(3 \times 18 = 54\), и \(3 \times 19 = 57\). Таким образом, максимальное целочисленное значение n, удовлетворяющее неравенству, равно 18.

Теперь подставим n = 18 в формулу суммы прогрессии:

\[S_{18} = 1 + 3 \times 18 = 55.\]

Таким образом, максимальное количество квадратов, которое можно покрасить, равно 55.

Среди предложенных вариантов 16, 18, 20, 22, 30, ближайшее к 55 — 30. Однако 30 не может быть максимальным количеством, так как это меньше 55. Поэтому правильный ответ — \(\boxed{22}\).