Question

Решить уравнение 2sin^2x + 7cos x + 2 = 0

Answer 1

2sin^2x + 7cos x + 2 = 0
2sin²x + 7cos x + 2 = 0
2(1-cos²x) + 7cos x + 2 = 0
-2cos²x + 7cosx +4 = 0
2cos²x - 7cosx - 4 = 0

Квадратное уравнение с переменной cosx

$2cos^2x - 7cosx - 4 = 0 \\ \\ D=49-4*2*(-4)=81 = 9^2 \\ \\ cosx_1= \frac{7-9}{4} =- \frac{1}{2} \\ \\ cosx_2 = \frac{7+9}{4} =4$
$cosx_2 =4$  - решений не имеет

$cosx_1= - \frac{1}{2} \\ \\ x_1= \frac{3 \pi }{2} +2 \pi n$

Answer 2

Решение уравнения 2sin^2x + 7cosx + 2 = 0

Для начала давайте решим уравнение относительно sin(x) и cos(x). Затем мы сможем найти значения угла, удовлетворяющие уравнению.

Преобразование уравнения

Используя тригонометрические тождества, мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x). Таким образом, уравнение примет вид:

2(1 - cos^2(x)) + 7cos(x) + 2 = 0

Раскроем скобки:

2 - 2cos^2(x) + 7cos(x) + 2 = 0

-2cos^2(x) + 7cos(x) + 4 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x).

Решение квадратного уравнения

Для решения этого уравнения воспользуемся дискриминантом и формулой квадратного уравнения:

Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = -2, b = 7, c = 4

D = 7^2 - 4*(-2)*4 = 49 + 32 = 81

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

cos(x) = (-b + √D) / (2a) и cos(x) = (-b - √D) / (2a)

cos(x) = ( -7 + √81 ) / (-4) = ( -7 + 9 ) / (-4) = 2 / (-4) = -0.5 cos(x) = ( -7 - √81 ) / (-4) = ( -7 - 9 ) / (-4) = -16 / (-4) = 4

Нахождение значений угла x

Теперь, имея значения cos(x), мы можем найти углы, удовлетворяющие уравнению. Так как cos(x) = adjacent/hypotenuse в прямоугольном треугольнике, мы можем использовать значение cos(x), чтобы найти угол x.

cos(x) = -0.5 соответствует углу x = 2π/3 + 2πn и углу x = 4π/3 + 2πn, где n - целое число.

cos(x) = 4 не имеет действительных значений, поскольку косинус угла не может превышать 1.

Ответ

Таким образом, уравнение 2sin^2x + 7cosx + 2 = 0 имеет решение: x = 2π/3 + 2πn, x = 4π/3 + 2πn, где n - целое число.