Question

Найдите производную функции u=x*y^2 + z^3 - x*y*z в точке M(1,1,2) в направлении вектора (вект)i + sqrt(2)*(вект)j + (вект)k

Answer 1

Совершаю ошибку, надо сначала проверить, является ли функция тотально дифференцируемой, но что же делать.
$u = x*y^{2} + z^{3} - x*y*z$
$D_{\vec{v}}u(M) \triangleq \nabla u(M) * \vec{v}$
$\nabla u(\vec{x}) = \left(\begin{array}{c} du/dx \\ du/dy \\ du/dz \end{array}\right)$
$\nabla u(\vec{x}) = \left(\begin{array}{c} y^{2} - y*z\\ 2xy - xz \\ 3z^{2}-xy \end{array}\right)$
$\nabla u(M) = \left(\begin{array}{c} 1^{2} - 1*2\\ 2*1*1 - 1*2 \\ 3*2^{2}-1*1 \end{array}\right)$
$\nabla u(M) = \left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 11 \end{array}\right)$
$D_{\vec{v}}u(M) = \nabla u(M) * \left(\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}\right)$
$D_{\vec{v}}u(M) = -1 * 1 + 0 * \sqrt{2} + 11 * 1 = 10$

Answer 2

Для нахождения производной функции в данной точке в направлении данного вектора, мы можем использовать градиентный вектор. Градиентный вектор показывает направление наибольшего возрастания функции в данной точке.

Для начала, найдем градиент функции u(x, y, z):

u = x*y^2 + z^3 - x*y*z

Для этого, возьмем частные производные функции u по каждой переменной:

∂u/∂x = y^2 - y*z

∂u/∂y = 2*x*y - x*z

∂u/∂z = 3*z^2 - x*y

Теперь, подставим значения x=1, y=1, z=2 в эти частные производные:

∂u/∂x = 1^2 - 1*2 = -1

∂u/∂y = 2*1*1 - 1*2 = 0

∂u/∂z = 3*2^2 - 1*1 = 11

Таким образом, градиент функции u в точке M(1, 1, 2) равен вектору (-1, 0, 11).

Теперь, найдем единичный вектор направления данного вектора (вект)i + sqrt(2)*(вект)j + (вект)k:

v = (вект)i + sqrt(2)*(вект)j + (вект)k

Для этого, найдем длину вектора v:

|v| = sqrt((вект)^2 + (sqrt(2)*(вект))^2 + (вект)^2) = sqrt(1 + 2 + 1) = sqrt(4) = 2

Затем, поделим вектор v на его длину, чтобы получить единичный вектор:

v̂ = v/|v| = ((вект)i + sqrt(2)*(вект)j + (вект)k)/2 = (1/2)*(вект)i + (sqrt(2)/2)*(вект)j + (1/2)*(вект)k

Теперь, у нас есть градиент функции u в точке M(1, 1, 2) и единичный вектор направления v̂. Чтобы найти производную функции u в точке M(1, 1, 2) в направлении вектора v, мы можем вычислить их скалярное произведение:

∇u · v̂ = (-1, 0, 11) · ((1/2)*(вект)i + (sqrt(2)/2)*(вект)j + (1/2)*(вект)k)

= (-1)*(1/2) + 0*(sqrt(2)/2) + 11*(1/2)

= -1/2 + 11/2

= 5

Таким образом, производная функции u в точке M(1, 1, 2) в направлении вектора (вект)i + sqrt(2)*(вект)j + (вект)k равна 5.