Question

Барон Мюнхгаузен нарисовал 13 равных отрезков на листе бумаги. Затем он отметил красным цветом все точки их пересечения. Через некоторое время он заметил, что каждая красная точка делит любой отрезок, которому она принадлежит, в отношении 3:4. Какое наибольшее количество красных точек мог отметить барон?

Answer 1

1 красную точку сумел обозначить Барон.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и применить принцип Дирихле.

Из условия задачи следует, что каждая красная точка делит отрезок, которому она принадлежит, в отношении 3:4. Это значит, что на каждом отрезке должно быть 3 точки, которые делят его в отношении 3:4.

Предположим, что барон отметил только 12 красных точек. Тогда на каждом отрезке будет только 2 точки, которые делят его в отношении 3:4. Но такое разбиение невозможно, потому что 2 точки не могут делить отрезок в отношении 3:4.

Таким образом, барон должен отметить как минимум 13 красных точек, чтобы каждый отрезок имел 3 точки, делящие его в отношении 3:4.

Теперь рассмотрим, может ли барон отметить больше 13 красных точек. Допустим, он отметил 14 точек. Тогда на каждом отрезке будет 3 точки, которые делят его в отношении 3:4. Но тогда общее количество точек будет равно 14 * 3 = 42, что больше, чем количество отрезков (13).

Таким образом, наибольшее количество красных точек, которое барон мог отметить, равно 13.