Question

ЗНАТОКИ МАТЕМАТИКИ,ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! 1) Найдите производную функции, заданной в виде произведения и частного: а) y=(x²-3)(x+x³); б)y=x^4+x²\x+1. 2)Найдите промежутки возрастания и убывания функции. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума: а)y=2x-x² б)y=1₅-1₂x²+x².

Answer 1

1 - производные
РЕШЕНИЕ
а)
y(x) = (x² - 3)*(x+ x³)
y'(x) = 2*x*(x+x³) + (x²-3)*(1+3*x²) = 2*x² + 2*x⁴ + x² + 3*x⁴ - 3 - 9*x² =
=5*x⁴ - 6*x² - 3 - ОТВЕТ
б)
y(x) = (x⁴ + x²)/(x+1)
$y'(x)= \frac{4x^3+2x}{x+1}- \frac{x^4+x^2}{(x+1)^2}$
- ОТВЕТ
2. Экстремумы
Y(x) = 2*x - x²
Экстремумы в корнях первой производной.
Y'(x) = 2 - 2*x = 2*(1 - x) = 0
Корень: х = 1 - функция - парабола, ветви вниз - максимум.
Ymax(1) = 2 - 1 = 1

Answer 2

Для начала рассмотрим первый вопрос:

Найдите производную функции, заданной в виде произведения и частного

# а) y=(x²-3)(x+x³)

Для нахождения производной произведения функций применим правило производной произведения:

Если функции \( u(x) \) и \( v(x) \) дифференцируемы на некотором интервале, то производная произведения этих функций равна \( u'v + uv' \).

Таким образом, найдем производные компонент функции \( y \): \[ u(x) = x^2 - 3 \] \[ v(x) = x + x^3 \]

Найдем производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \): \[ u'(x) = 2x \] \[ v'(x) = 1 + 3x^2 \]

Теперь найдем производную исходной функции \( y \) с помощью правила производной произведения: \[ y' = u'v + uv' = (2x)(x + x^3) + (x^2 - 3)(1 + 3x^2) \]

# б) y=x^4+x²/x+1

Для нахождения производной частного функций применим правило производной частного:

Если функции \( u(x) \) и \( v(x) \) дифференцируемы на некотором интервале, то производная частного этих функций равна \((u'v - uv') / v^2\).

Таким образом, найдем производные компонент функции \( y \): \[ u(x) = x^4 + x^2 \] \[ v(x) = x + 1 \]

Найдем производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \): \[ u'(x) = 4x^3 + 2x \] \[ v'(x) = 1 \]

Теперь найдем производную исходной функции \( y \) с помощью правила производной частного: \[ y' = (u'v - uv') / v^2 = ((4x^3 + 2x)(x + 1) - (x^4 + x^2)(1)) / (x + 1)^2 \]

Теперь перейдем ко второй части вопроса.