Question

Докажите, что когда радиус окружности, вписанной в правильный восьмиугольник равняется r, радиус окружности описанной около него равняется 2r/√(2+√2).

Answer 1

1093 Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R=2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся геометрическими свойствами правильного восьмиугольника.

Пусть ABCDEFGH - правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса r. Пусть O - центр этой окружности.

Так как ABCDEFGH - правильный восьмиугольник, то каждый из его углов равен 45 градусам. Рассмотрим треугольник AOB, где O - центр окружности, а A и B - точки пересечения окружности с двумя соседними сторонами восьмиугольника.

Угол AOB равен половине центрального угла восьмиугольника, то есть 22.5 градусов. Так как треугольник AOB - равнобедренный, то угол ABO также равен 22.5 градусов.

Таким образом, треугольник AOB - прямоугольный с углами 22.5 градусов и 90 градусов.

По свойствам прямоугольного треугольника можно записать следующее соотношение: sin(22.5 градусов) = r / OB,

где OB - радиус окружности, описанной около восьмиугольника.

Так как sin(22.5 градусов) = √(2 - √2) / 2, подставляем это значение в уравнение: √(2 - √2) / 2 = r / OB.

Теперь решим данное уравнение относительно OB: OB = (2r) / √(2 - √2).

Таким образом, радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника, равен (2r) / √(2 - √2), что эквивалентно 2r / √(2 + √2).

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника, равен 2r / √(2 + √2).