Question

Найти первообразную F(x) функции f(x) , график которой проходит через точку М(х,у) : f(x)=1+x/2;M(1;3) и f(x)=2+4x; M(-1;1)

Answer 1

∫(1+x/2)dx=x+x²/4+c   M(1;3)
1+1/4+c=3 ⇒c=3-5/4=7/4
x+x²/4+7/4

∫(2+4x)dx=2x+2x²+c      
M(-1;1)  ⇒  -2+2+c=1    c=1
2x+2x²+1

Answer 2

Для нахождения первообразной функции F(x) необходимо интегрировать функцию f(x). Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

Первый случай: f(x) = 1 + x/2; M(1,3)

Для нахождения первообразной F(x) данной функции, мы будем интегрировать каждый член функции по отдельности. Добавим константу интегрирования C в конце.

Интегрируем первый член: ∫1 dx = x + C1

Интегрируем второй член: ∫(x/2) dx = (1/2) * (x^2) + C2

Теперь объединим результаты и добавим константу интегрирования: F(x) = x + (1/2) * (x^2) + C

Чтобы найти значение константы интегрирования C, мы будем использовать точку М(1,3). Подставим значения x=1 и y=3 в уравнение F(x):

3 = 1 + (1/2) + C

2 = C

Таким образом, первообразная функции F(x) для f(x) = 1 + x/2 и точки М(1,3) будет:

F(x) = x + (1/2) * (x^2) + 2

Второй случай: f(x) = 2 + 4x; M(-1,1)

Аналогично предыдущему случаю, мы интегрируем каждый член функции по отдельности и добавим константу интегрирования C в конце.

Интегрируем первый член: ∫2 dx = 2x + C1

Интегрируем второй член: ∫(4x) dx = 2x^2 + C2

Теперь объединим результаты и добавим константу интегрирования: F(x) = 2x + 2x^2 + C

Чтобы найти значение константы интегрирования C, мы будем использовать точку М(-1,1). Подставим значения x=-1 и y=1 в уравнение F(x):

1 = -2 + 2 + C

1 = 0 + C

Таким образом, первообразная функции F(x) для f(x) = 2 + 4x и точки М(-1,1) будет:

F(x) = 2x + 2x^2 + 1

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.