Question

Антон поставил стрелку будильника на 6 часов утра, но проснулся немного раньше (после 5 часов) и заметил, что часовая стрелка делит угол между стрелкой будильника и минутной стрелкой пополам. Когда проснулся Антон?

Answer 1

Угол поворота стрелок будем измерять от отметки в 12 часов по часовой стрелке в градусах.
Скорость минутной стрелки равна 360°/60мин=6 градусов в минуту.
Скорость часовой стрелки равна 360°/12ч=360°/(12·60)мин=1/2 градусов  в минуту. 
Пусть Антон проснулся в 5 часов и t минут (0<t<60).
За это время c 12 ночи часовая стрелка повернется на угол (5·60+t)·(1/2)=150+t/2 градусов.
За те же 5 ч t мин минутная совершит 5 полных оборота и дополнительно повернется на угол 6t градусов.
Cтрелка будильника будет направлена на 6 часов, т.е. на 180°.
Т.к. по условию в момент просыпания угол между часовой и минутной должен быть равен углу между стрелкой будильника и часовой, а часовая находится где-то между 5 и 6 часами, то 
(150+t/2)-6t=180-(150+t/2)
5t=120
t=24.
Ответ: Антон проснулся в 5 ч. 24 мин.

Answer 2

За 1 час или 60 минут минутная стрелка совершает полный оборот по циферблату,т.е. оборот на 360°. Тогда пол оборота по циферблату  - оборот на 180°. 
Пройденный угол минутной стрелки:
$\frac{x}{60}*360к=x*6к$
т.е. каждая пройденная минута смещает минутную стрелку на 6°

Пройденный угол часовой стрелки:
$\frac{y}{12} *360к=30к*y$
т.е. каждый пройденный час смещает часовую стрелку на 30°

По условию время между 5ч и 6ч, значит
$(5+ \frac{x}{60} )*30к-$ угол, пройденный часовой стрелкой
$x*6к-$ угол, пройденный минутной стрелкой
$((5+ \frac{x}{60})*30к-x*6к) -$ угол между  часовой и минутной стрелками

Фиксированная стрелка будильника поставлена  на 6 часов.
Выразим угол между фиксированной  и часовой стрелками будильника:
$180к-(5+ \frac{x}{60} )*30к$

По условию часовая стрелка делит угол между фиксированной стрелкой будильника и минутной пополам,т.е. углы равны.
Решим уравнение:
$(5+ \frac{x}{60})*30к-x*6к =180к-(5+ \frac{x}{60})*30к$
$150к+ 0,5к*x-x*6к =180к-(150к+0,5к*x)$
$150к-5,5к*x =180к-150к-0,5к*x$
$150к-5,5к*x=30к-0,5к*x$
$5к*x=120к$
$x=24$ (мин)

Ответ: в  5 часов 24 минуты

Answer 3

Антон проснулся немного раньше, после 5 часов утра, и заметил, что часовая стрелка делит угол между стрелкой будильника и минутной стрелкой пополам. Теперь давайте рассмотрим, как это поможет нам определить время, когда Антон проснулся.

Решение:

Чтобы найти время, когда Антон проснулся, нам нужно найти угол между стрелками часов и минут на момент, когда Антон проснулся. Поскольку часовая стрелка делит угол между стрелкой будильника и минутной стрелкой пополам, это означает, что угол между ними равен 30 градусам.

Теперь давайте предположим, что Антон проснулся в момент, когда минутная стрелка указывала на 12 часов, а часовая стрелка указывала на 6 часов. В этом случае угол между стрелками будет равен 180 градусам, что не соответствует условию задачи.

Теперь давайте рассмотрим другой вариант. Если Антон проснулся в момент, когда минутная стрелка указывала на 6 часов, а часовая стрелка указывала на 12 часов, то угол между стрелками будет равен 0 градусов. Однако, это также не соответствует условию задачи, так как Антон проснулся после 5 часов.

Таким образом, с учетом условия задачи, можно сделать вывод, что Антон проснулся в момент, когда минутная стрелка указывала на 12 часов, а часовая стрелка делила угол между стрелкой будильника и минутной стрелкой пополам. Это означает, что Антон проснулся в 5 часов и 30 минут.