Question

Вычислить определенный интеграл:

Answer 1

$\int\limits^3_0 { \frac{ x^{3} }{ \sqrt[3]{x} } } \, dx= \int\limits^3_0 { \frac{ x^{3} }{ x^{ \frac{1}{3} } } } \, dx = \int\limits^3_0 { x^{3- \frac{1}{3} } } \, dx = \int\limits^3_0 { x^{ \frac{8}{3} } } \, dx = \frac{ x^{ \frac{8}{3}+1 } }{ \frac{8}{3}+1 } | _{0} ^{3} = \frac{3}{11} * x^{ \frac{11}{3} } | _{0} ^{3}$
$= \frac{3}{11}* x^{3} * x^{ \frac{2}{3} } | _{0} ^{3} = \frac{11}{3} *( 3^{3}* \sqrt[3]{ 3^{2} } -0 )=99* \sqrt[3]{9}$

Answer 2

Чтобы вычислить определенный интеграл, нужно сначала найти первообразную функции подынтегрального выражения. Затем, используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить разность значений первообразной на концах отрезка интегрирования.

Пусть нам дано выражение для интегрирования: ∫(f(x)dx) от a до b.

1. Найдем первообразную функцию F(x) для функции f(x). Для этого можно использовать таблицу интегралов или методы интегрирования, такие как метод замены переменной или интегрирование по частям.

2. После нахождения первообразной функции F(x) вычисляем разность значений F(x) на концах отрезка интегрирования: F(b) - F(a).

3. Полученное значение является значением определенного интеграла ∫(f(x)dx) от a до b.

Например, рассмотрим задачу вычисления определенного интеграла ∫(2x^2 + 3x + 1)dx от 0 до 5.

1. Найдем первообразную функцию для выражения 2x^2 + 3x + 1. Интегрируя каждый член по отдельности, получаем: F(x) = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + x + C.

2. Вычисляем разность значений первообразной на концах отрезка интегрирования: F(5) - F(0) = [(2/3)(5)^3 + (3/2)(5)^2 + 5] - [(2/3)(0)^3 + (3/2)(0)^2 + 0] = [(2/3)(125) + (3/2)(25) + 5] - 0 = (250/3) + (75/2) + 5 = 833/6.

3. Значение определенного интеграла ∫(2x^2 + 3x + 1)dx от 0 до 5 равно 833/6.

Таким образом, определенный интеграл был вычислен и его значение равно 833/6.