Question

вычислить площадь треугольника , вершинами которого служат точки А (4,2), В (9,4), С (7,6)

Answer 1

по формуле расстояния между двумя точками, заданными координатами

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

 

$AB=\sqrt{(4-9)^2+(2-4)^2}=\sqrt{29};\\ BC=\sqrt{(9-7)^2+(4-6)^2}=2\sqrt{2};\\ AC=\sqrt{(4-7)^2+(2-6)^2}=5$

Полупериметр равен $p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{ \sqrt{29}+2\sqrt{2}+5}{2}$

 

По формуле Герона площадь равна

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\\ \sqrt{\frac{\sqrt{29}+2\sqrt{2}+5}{2}*(\frac{\sqrt{29}+2\sqrt{2}+5}{2}-5) *(\frac{\sqrt{29}+2\sqrt{2}+5}{2}-2\sqrt{2})*(\frac{\sqrt{29}+2\sqrt{2}+5}{2}-\sqrt{29})}=\\ \sqrt{\frac{\sqrt{29}+2\sqrt{2}+5}{2}*(\frac{\sqrt{29}+2\sqrt{2}-5}{2}) *(\frac{\sqrt{29}-2\sqrt{2}+5}{2})*(\frac{-\sqrt{29}+2\sqrt{2}+5}{2})}=\\ \frac{1}{4}\sqrt{ (\sqrt{29}+2\sqrt{2})+5)*((\sqrt{29}+2\sqrt{2})-5) *(5+(\sqrt{29}-2\sqrt{2}))*(5-(\sqrt{29}-2\sqrt{2}))}=$

$\frac{1}{4}\sqrt{ (\sqrt{29}+2\sqrt{2})^2-5^2)*(5^2-(\sqrt{29}-2\sqrt{2})^2)}=\\ \frac{1}{4}\sqrt{ (29+8+4\sqrt{58}-25)*(25-29-8+4\sqrt{58})}=\\ \frac{1}{4}\sqrt{ (12+4\sqrt{58})*(-12+4\sqrt{58})}=\\ \frac{4}{4}\sqrt{ (\sqrt{58}+3)*(\sqrt{58}-3)}=\\ \sqrt{ (\sqrt{58})^2-3^2)}=\\ \sqrt{58-9}=\sqrt{49}=7$

 ответ: 7

Answer 2

Чтобы вычислить площадь треугольника по координатам его вершин, можно использовать формулу Герона или формулу с использованием векторного произведения. Давайте воспользуемся вторым вариантом.

Шаг 1: Найти векторы AB и AC

Для начала найдем векторы AB и AC. Вектор AB можно получить вычитая координаты точки A из координат точки B, а вектор AC - вычитая координаты точки A из координат точки C.

Вектор AB: AB = (x2 - x1, y2 - y1) = (9 - 4, 4 - 2) = (5, 2)

Вектор AC: AC = (x3 - x1, y3 - y1) = (7 - 4, 6 - 2) = (3, 4)

Шаг 2: Вычислить векторное произведение векторов AB и AC

Теперь, чтобы вычислить векторное произведение векторов AB и AC, нужно перемножить компоненты векторов и вычислить их разность по модулю.

Векторное произведение AB и AC: AB x AC = |AB| * |AC| * sin(θ)

где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC, а θ - угол между векторами AB и AC.

Шаг 3: Вычислить площадь треугольника

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу: Площадь = 0.5 * |AB| * |AC| * sin(θ)

Таким образом, чтобы вычислить площадь треугольника, нам нужно найти длины векторов AB и AC, а также вычислить синус угла между ними.

Шаг 4: Вычислить длины векторов AB и AC

Длина вектора AB: |AB| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((9 - 4)^2 + (4 - 2)^2) = sqrt(25 + 4) = sqrt(29)

Длина вектора AC: |AC| = sqrt((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2) = sqrt((7 - 4)^2 + (6 - 2)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Шаг 5: Вычислить синус угла θ

Чтобы вычислить синус угла θ, мы можем использовать формулу: sin(θ) = |AB x AC| / (|AB| * |AC|)

где |AB x AC| - длина векторного произведения векторов AB и AC.

Шаг 6: Вычислить площадь треугольника

Теперь, имея все необходимые значения, мы можем вычислить площадь треугольника:

Площадь = 0.5 * |AB| * |AC| * sin(θ) = 0.5 * sqrt(29) * 5 * (|AB x AC| / (sqrt(29) * 5)) = 0.5 * |AB x AC|

Таким образом, чтобы вычислить площадь треугольника, нам нужно вычислить длину векторного произведения векторов AB и AC:

AB x AC = (5 * 4) - (2 * 3) = 20 - 6 = 14

Площадь = 0.5 * 14 = 7

Таким образом, площадь треугольника с вершинами A(4,2), B(9,4) и C(7,6) равна 7 квадратных единиц.