Question

Найти полный дифференциал: y=y^2/3x arcsinxy

Answer 1

dz = dz/dx * dx + dz/dy * dy

dz/dx = ((x - y)^3 + x^(1/2) * sin y^2 + x * y)'_x =
= 3 * (x - y)^2 + 1/2 * x^(-1/2) * sin y^2 + y
dz/dy = ((x - y)^3 + x^(1/2) * sin y^2 + x * y)'_y =
= -3 * (x - y)^2 + x^(1/2) * cos y^2 * 2y + x
Тогда
dz = (3 * (x - y)^2 + 1/2 * x^(-1/2) * sin y^2 + y) dx +
+ (-3 * (x - y)^2 + 2 * x^(1/2) * y * cos y^2 + x) dy

Answer 2

Чтобы найти полный дифференциал функции y = (y^2/3)x + arcsin(xy), мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции. Полный дифференциал функции представляет собой сумму частных производных функции по каждой из ее переменных, умноженных на дифференциалы соответствующих переменных.

Давайте начнем с расчета частных производных функции y по переменным x и y. Затем мы умножим эти частные производные на соответствующие дифференциалы переменных dx и dy.

Поскольку у нас есть две переменные, нам понадобятся две частные производные. Давайте начнем с частной производной по x:

∂y/∂x = (∂/∂x)(y^2/3x + arcsin(xy))

Для вычисления этой частной производной нам понадобится использовать правило дифференцирования сложной функции. Производная функции y^2/3x по x равна:

(∂/∂x)(y^2/3x) = y^2/3 * (∂/∂x)(1/x)

Здесь мы использовали правило степенной функции и правило дифференцирования обратной функции. Дифференцируя 1/x, мы получаем:

(∂/∂x)(1/x) = -1/x^2

Теперь мы можем вернуться к частной производной по x и подставить найденное значение:

∂y/∂x = y^2/3 *