Question

Доказать, что сумма натуральных делителей числа (2017!)^2016 нечетна

Answer 1

Решение находится в файле

Answer 2

Доказательство, что сумма натуральных делителей числа (2017!)^2016 нечетна

Для доказательства того, что сумма натуральных делителей числа (2017!)^2016 нечетна, мы можем воспользоваться следующими фактами:

1. Число (2017!)^2016 является произведением всех натуральных чисел от 1 до 2017, возведенных в степень 2016. 2. Сумма натуральных делителей числа является мультипликативной функцией, то есть сумма делителей произведения двух чисел равна произведению суммы делителей каждого из этих чисел. 3. Сумма делителей простого числа p в степени k равна (p^0 + p^1 + p^2 + ... + p^k).

Используя эти факты, мы можем рассмотреть сумму натуральных делителей числа (2017!)^2016. Поскольку число (2017!)^2016 является произведением всех натуральных чисел от 1 до 2017, возведенных в степень 2016, мы можем представить его в виде произведения простых чисел в степенях:

(2017!)^2016 = (2^a1 * 3^a2 * 5^a3 * ... * 2017^an)^2016

Теперь мы можем рассмотреть сумму делителей числа (2017!)^2016. Поскольку сумма делителей является мультипликативной функцией, сумма делителей числа (2017!)^2016 будет равна произведению сумм делителей каждого из простых множителей в степенях:

Сумма делителей числа (2017!)^2016 = (сумма делителей числа 2^a1) * (сумма делителей числа 3^a2) * (сумма делителей числа 5^a3) * ... * (сумма делителей числа 2017^an)

Теперь рассмотрим сумму делителей простого числа p в степени k. Сумма делителей числа p^k равна (p^0 + p^1 + p^2 + ... + p^k). Заметим, что сумма делителей простого числа p в степени k является нечетной, так как она является суммой нечетного количества нечетных чисел (p^1, p^3, p^5, ...).

Таким образом, каждая сумма делителей простого множителя в степени a будет нечетной.

Из этого следует, что сумма делителей числа (2017!)^2016 будет произведением нечетных чисел, что делает ее нечетной.

Итак, мы доказали, что сумма натуральных делителей числа (2017!)^2016 является нечетной.