Question

Решите уравнение а) sinxcosx + квадратный корень из 3 сos^2x=0 б)cos2x+ 9sinx+ 4=0 в)4sin^2x +9sinxcosx +9cos^2x=2

Answer 1

А) sinxcosx+√3 cos^2x=0
cosx(sinx+√3cosx)=0
произведение двух сомножителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом существует
cosx=0
x=Π/2+Πn, n€Z
sinx+√3cosx=0 | : на cosx
tgx+√3=0
tgx=-√3
x=-Π/3+Πk, k€Z
Ответ: -Π/3+Πk, k€Z; Π/2+Πn, n€Z
б) cos2x+9sinx+4=0
1-2sin^2x+9sinx+4=0
-2sin^2x+9sinx+5=0
Пусть t=sinx, где t€[-1;1], тогда
-2t^2+9t+5=0
D=81+40=121
t1=-9-11/-4=5 посторонний корень
t2=-9+11/-4=-1/2
Вернёмся к замене
sinx=-1/2
x1=-5Π/6+2Πn, n€Z
x2=-Π/6+2Πn, n€Z
Ответ: -5Π/6+2Πn, -Π/6+2Πn, n€Z

Answer 2

Уравнение a) sin(x)cos(x) + √3cos^2(x) = 0

Для начала рассмотрим уравнение sin(x)cos(x) + √3cos^2(x) = 0. Попробуем решить его.

Сначала вынесем общий множитель cos(x) из первых двух слагаемых: cos(x) * (sin(x) + √3cos(x)) = 0

Уравнение принимает вид произведения двух выражений, равного нулю. Следовательно, либо cos(x) = 0, либо sin(x) + √3cos(x) = 0.

1. Когда cos(x) = 0, получаем x = π/2 + πn, где n - целое число.

2. Когда sin(x) + √3cos(x) = 0, мы можем разделить обе стороны на cos(x), предполагая, что cos(x) ≠ 0: tan(x) + √3 = 0 tan(x) = -√3 x = arctan(-√3) + πn, где n - целое число.

Таким образом, решение уравнения sin(x)cos(x) + √3cos^2(x) = 0: x = π/2 + πn, arctan(-√3) + πn, где n - целое число.

Уравнение б) cos(2x) + 9sin(x) + 4 = 0

Теперь перейдем к уравнению cos(2x) + 9sin(x) + 4 = 0.

Это уравнение может быть решено с помощью тригонометрических преобразований. Используем формулы двойного угла для cos(2x): cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Подставим это выражение в уравнение: 1 - 2sin^2(x) + 9sin(x) + 4 = 0 -2sin^2(x) + 9sin(x) + 5 = 0

Теперь проведем замену: u = sin(x), получим квадратное уравнение: -2u^2 + 9u + 5 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = 81 - 4*(-2)*5 = 81 + 40 = 121 u = (-9 ± √121) / (-4) u1 = (-9 + 11) / (-4) = 1/2 u2 = (-9 - 11) / (-4) = -5

Теперь найдем соответствующие значения x: 1. Когда u = 1/2, sin(x) = 1/2 x = π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn, где n - целое число. 2. Когда u = -5, sin(x) = -5 (не имеет решения, так как |sin(x)| <= 1)

Таким образом, решение уравнения cos(2x) + 9sin(x) + 4 = 0: x = π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn, где n - целое число.

Уравнение в) 4sin^2(x) + 9sin(x)cos(x) + 9cos^2(x) = 2

Теперь перейдем к уравнению 4sin^2(x) + 9sin(x)cos(x) + 9cos^2(x) = 2.

Это уравнение может быть решено с использованием тригонометрических преобразований.

Мы можем использовать формулы для преобразования произведения тригонометрических функций: 4sin^2(x) + 9sin(x)cos(x) + 9cos^2(x