Question

Из урны, содержащей 5 белых шаров и 3 черных шара, случайным образом извлекли 4 шара. Какова вероятность того, что 1) среди них будет одинаковое количество белых и черных шаров? 2) число белых превысит число черных?

Answer 1

$\\|\Omega|={8\choose4}=5*7*2=70 \\a) \\|A|={5\choose2}*{3\choose2}=10*3=30 \\ \\P(A)=\frac{30}{70}=\frac37 \\ \\2) \\|B|={5\choose4}+{5\choose3}*{3\choose1}=5+30=35 \\ \\P(B)=\frac{35}{70}=\frac12$

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится применить комбинаторику и вероятностные методы. Давайте начнем с расчета вероятности для каждого из условий.

Расчет вероятности для случая, когда среди извлеченных шаров будет одинаковое количество белых и черных

Чтобы рассчитать вероятность этого события, мы можем использовать формулу комбинаторики для сочетаний.

1. Вариантов, когда среди 4 извлеченных шаров будет по 2 белых и 2 черных, можно рассчитать следующим образом: - Выберем 2 белых из 5 белых шаров: C(5, 2) - Выберем 2 черных из 3 черных шаров: C(3, 2) - Общее число благоприятных исходов: C(5, 2) * C(3, 2)

2. Вариантов, когда среди 4 извлеченных шаров будет 3 белых и 1 черный или 1 белый и 3 черных, также можно рассчитать по аналогии: - Выберем 3 белых из 5: C(5, 3) - Выберем 1 черный из 3: C(3, 1) - Общее число благоприятных исходов: C(5, 3) * C(3, 1) * 2 (так как есть два варианта порядка - либо 3 белых и 1 черный, либо 1 белый и 3 черных)

Теперь мы можем сложить количество благоприятных исходов для каждого из этих случаев и разделить на общее количество способов выбрать 4 шара из 8.

Расчет вероятности для случая, когда число белых шаров превысит число черных

Для этого случая мы также можем использовать комбинаторику для подсчета благоприятных исходов и общего числа способов.

1. Вариантов, когда среди 4 извлеченных шаров будет 4 белых, можно рассчитать выбрав 4 белых из 5: C(5, 4). 2. Вариантов, когда среди 4 извлеченных шаров будет 3 белых и 1 черный, можно рассчитать выбрав 3 белых из 5: C(5, 3), и 1 черный из 3: C(3, 1).

Таким образом, мы сможем определить общее количество благоприятных исходов и разделить его на общее количество способов выбрать 4 шара из 8.

Давайте рассчитаем вероятности для обоих случаев.