Question

Упростить выражение:sin6x+cos6x+3sin2x*cos2x

Answer 1

Sin^6(x) + cos^6(x) + 3 * sin^2(x) * cos^2(x) = sin^6(x) + cos^6(x) + 3 * sin^2(x) * cos^2(x) * [ sin^2(x) + cos^2(x) ] = [sin^2(x) + cos^2(x) ]^3 = 1.

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества и формулы двойного угла, чтобы выразить его в более простой форме.

Давайте начнем с применения формулы двойного угла для выражения sin(2x) и cos(2x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь мы можем использовать эти формулы, чтобы переписать выражение:

sin(6x) + cos(6x) + 3sin(2x)cos(2x)

= sin(6x) + cos(6x) + 3 * 2sin(x)cos(x) * (cos^2(x) - sin^2(x))

= sin(6x) + cos(6x) + 6sin(x)cos(x) * (cos^2(x) - sin^2(x))

Теперь давайте воспользуемся тождествами сложения и вычитания для sin(x) и cos(x):

sin(x)cos(x) = (1/2) * sin(2x) cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)

Используя эти тождества, мы можем дальше упростить выражение:

sin(6x) + cos(6x) + 6sin(x)cos(x) * (cos^2(x) - sin^2(x))

= sin(6x) + cos(6x) + 6 * 2sin(x)cos(x) * cos(2x)

= sin(6x) + cos(6x) + 12sin(x)cos(x) * cos(2x)

= sin(6x) + cos(6x) + 12 * (1/2) * sin(2x) * cos(2x)

= sin(6x) + cos(6x) + 6sin(2x)cos(2x)

Таким образом, мы получаем, что упрощенное выражение равно sin(6x) + cos(6x) + 6sin(2x)cos(2x).