Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: у=х+3 и у=х^2 +3

Answer 1

Площадь фигуры 0.166 или 1/6 квадратных единиц

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями у = х + 3 и у = х^2 + 3, необходимо найти точки пересечения этих двух функций.

Прежде всего, найдем точку пересечения этих двух функций, приравняв их друг другу:

х + 3 = х^2 + 3

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

х^2 - х = 0

Теперь можно вынести х за скобку:

х(х - 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения х: х = 0 и х = 1.

Подставим эти значения в любое из уравнений, чтобы найти соответствующие значения у:

При х = 0:

у = 0 + 3 = 3

При х = 1:

у = 1 + 3 = 4

Таким образом, получаем две точки пересечения: (0, 3) и (1, 4).

Теперь, используя эти точки, можно построить график этих функций и найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

График функции у = х + 3 - это прямая с наклоном 1 и смещением вверх на 3 единицы.

График функции у = х^2 + 3 - это парабола с вершиной в точке (0, 3) и открывающаяся вверх.

Построим график:

(вставить график)

Площадь фигуры, ограниченной этими двумя линиями, можно найти как разность площадей под графиками функций у = х + 3 и у = х^2 + 3 на интервале от х = 0 до х = 1.

Площадь под графиком функции у = х + 3 на этом интервале равна интегралу от х = 0 до х = 1 функции х + 3:

∫(х + 3)dx = [х^2/2 + 3х] (от х = 0 до х = 1) = (1^2/2 + 3*1) - (0^2/2 + 3*0) = 1/2 + 3 - 0 = 1/2 + 3 = 7/2

Площадь под графиком функции у = х^2 + 3 на этом интервале равна интегралу от х = 0 до х = 1 функции х^2 + 3:

∫(х^2 + 3)dx = [х^3/3 + 3х] (от х = 0 до х = 1) = (1^3/3 + 3*1) - (0^3/3 + 3*0) = 1/3 + 3 - 0 = 1/3 + 3 = 10/3

Теперь найдем разность площадей:

Площадь фигуры = площадь под графиком функции у = х + 3 - площадь под графиком функции у = х^2 + 3 = (7/2) - (10/3) = (21 - 20)/6 = 1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = х + 3 и у = х^2 + 3, равна 1/6 единицы площади.