Question

Упростите выражение:( tg альфа + ctg альфа) (1+ cos альфа) (1 - cos альфа)

Answer 1

(tga + ctga)(1+cosa)(1-cosa) = (sina/cosa + cosa/sina)(1-cos^2a) = ((sin^2a + cos^2a)sin^2a/(cosasina)) = 1sina/cosa 

a - альфа, ^2 - в квадрате, если просто стоят рядом - умножение

Answer 2

Для упрощения выражения (tg α + ctg α)(1 + cos α)(1 - cos α) можно использовать следующие тождества:

- tg α = sin α / cos α - ctg α = cos α / sin α - sin² α + cos² α = 1 - 1 + cos α = 2 cos² (α/2) - 1 - cos α = 2 sin² (α/2)

Подставляя эти тождества в исходное выражение, получаем:

(tg α + ctg α)(1 + cos α)(1 - cos α) = (sin α / cos α + cos α / sin α)(2 cos² (α/2))(2 sin² (α/2)) = (sin² α + cos² α) / (sin α cos α) * 4 sin² (α/2) cos² (α/2) = 1 / (sin α cos α) * 4 sin² (α/2) cos² (α/2) = 4 / (2 sin α cos α) * sin² (α/2) cos² (α/2) = 2 * sin (α/2) cos (α/2) * sin² (α/2) cos² (α/2) = 2 * sin α * sin² (α/2) cos² (α/2) = 2 * sin α * (1 - cos α) / 2 * (1 + cos α) / 2 = sin α * (1 - cos α) * (1 + cos α) / 2

Таким образом, упрощенное выражение равно sin α * (1 - cos α) * (1 + cos α) / 2.