Question

Для функции z=2x²-xy+y²-3x-y+1 точкой минимума является...?

Answer 1

$z'_{x}=4x-y-3\\ z'_{y}=-x+2y-1\\\\ 4x-y-3=0\\ -x+2y-1=0\\\\ 4x-y=3\\ -x+2y=1\\\\ x=2y-1\\ 4(2y-1)-y=3 \\ 7y-4=3\\ y=1\\ x=1\\\\ z''_{x}=4\\ z''(y)=-1$

Подставляя получим    значения 
 $A(1;1)=4\\ C(1;1)=2\\ B=-1$
   


$AC-B^2=7>0$

То есть точка минимума      $(1;1)$
   

Answer 2

Для функции z = 2x² - xy + y² - 3x - y + 1, чтобы найти точку минимума, необходимо найти значения x и y, при которых функция достигает наименьшего значения z.

Для этого можно использовать метод частных производных. Сначала найдем частные производные функции по переменным x и y:

∂z/∂x = 4x - y - 3 ∂z/∂y = -x + 2y - 1

Затем приравняем обе производные к нулю и решим полученную систему уравнений:

4x - y - 3 = 0 -x + 2y - 1 = 0

Первое уравнение можно переписать в виде y = 4x - 3 и подставить во второе уравнение:

-x + 2(4x - 3) - 1 = 0 -x + 8x - 6 - 1 = 0 7x - 7 = 0 7x = 7 x = 1

Подставляем найденное значение x обратно в первое уравнение:

y = 4(1) - 3 y = 4 - 3 y = 1

Таким образом, точкой минимума функции z=2x²-xy+y²-3x-y+1 является точка (1, 1).

Для подтверждения, можно построить график функции и убедиться, что точка (1, 1) действительно является точкой минимума.