Question

F (x)= x×3-x в корне исследовать функцию и построить график

Answer 1

Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 
в x^3+3*x-5. 
Результат: y=-5. Точка: (0, -5)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:x^3+3*x-5 = 0 Решаем это уравнение  и его корни будут точками пересечения с X:
x=-(-5/2 + sqrt(29)/2)**(1/3) + (-5/2 + sqrt(29)/2)**(-1/3)≈1,15417.         Точка: (1,15417, 0)Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=3*x^2 + 3=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
x = √-1  - нет решения и нет экстремумов.
Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, 
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=6*x=0
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=0. Точка: (0, -5)Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: [0, oo)Выпуклая на промежутках: (-oo, 0]Вертикальные асимптотыНетуГоризонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim x^3+3*x-5, x->+oo = oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существуетlim x^3+3*x-5, x->-oo = -oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существуетНаклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :lim x^3+3*x-5/x, x->+oo = oo, значит наклонной асимптоты справа не существуетlim x^3+3*x-5/x, x->-oo = oo, значит наклонной асимптоты слева не существуетЧетность и нечетность функции:Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:x^3+3*x-5 = -x^3 - 3*x - 5 - Нетx^3+3*x-5 = -(-x^3 - 3*x - 5) - Нетзначит, функция не является ни четной ни нечетной

Answer 2

Function Analysis and Graph Plotting for F(x) = x^3 - x

To analyze the function \( F(x) = x^3 - x \), we'll investigate its properties and then plot its graph.

Function Properties

The function \( F(x) = x^3 - x \) has the following properties: - Domain: The domain of the function is all real numbers. - Roots: The function has a root at \( x = 0 \). - Increasing/Decreasing: The function is increasing for \( x < 0 \) and decreasing for \( x > 0 \). - Concavity: The function is concave up for \( x < 0 \) and concave down for \( x > 0 \).

Graph Plot

Let's plot the graph of the function \( F(x) = x^3 - x \) to visualize its behavior.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the function
def F(x):
    return x**3 - x

# Generate x values
x = np.linspace(-2, 2, 400)
# Generate corresponding y values
y = F(x)

# Plot the graph
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='$F(x) = x^3 - x$')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.title('Graph of F(x) = x^3 - x')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

The graph of the function \( F(x) = x^3 - x \) shows its behavior and the properties mentioned above.

This analysis and graph provide insights into the behavior of the function \( F(x) = x^3 - x \) and its graphical representation.