Question

Помогите решить интеграл 3^5x^2 xdx

Answer 1

$\int\limit {3^5*x^3} \, dx =3^5 \int\limits {x^3} \, dx = \frac{243*x^4}{4}=60,75x^4+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы будем использовать формулу интегрирования по частям. Формула имеет следующий вид:

∫(u*v)dx = u*∫vdx - ∫(u'∫vdx)dx

где u и v - функции от переменной x, а u' - производная функции u по переменной x.

Для данного интеграла, мы выбираем следующие функции:

u = 3^5x^2 v = x

Теперь мы можем найти производные этих функций:

u' = d(3^5x^2)/dx = 2*3^5x = 2*243x = 486x v' = dx

Подставляем найденные значения в формулу интегрирования по частям:

∫(3^5x^2 * x)dx = (3^5x^2) * ∫xdx - ∫(486x * ∫xdx)dx

Первый интеграл ∫xdx просто равен x^2/2:

∫(3^5x^2 * x)dx = (3^5x^2) * (x^2/2) - ∫(486x * (x^2/2))dx

Упрощаем:

∫(3^5x^2 * x)dx = (243x^2) * (x^2/2) - ∫(243x^3)dx

Теперь мы можем интегрировать оставшийся интеграл:

∫(243x^3)dx = 243 * ∫(x^3)dx

∫(x^3)dx = x^4/4

Подставляем значения обратно в исходный интеграл:

∫(3^5x^2 * x)dx = (243x^2) * (x^2/2) - 243 * (x^4/4) + C

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, решение данного интеграла равно:

∫(3^5x^2 * x)dx = (243x^2) * (x^2/2) - 243 * (x^4/4) + C