Question

Найти площадь фигуры ограниченную линиями у=8sqrt х, у=х^2

Answer 1

Находим x координаты точек пересечения:
$\left \{ {{y=8\sqrt{x}} \atop {y=x^2}} \right. \\8\sqrt{x}=x^2 \\64x=x^4,\ x \in [0;+\infty) \\x^4-64x=0 \\x(x^3-64)=0 \\x_1=0 \\x^3=64 \\x_2=4$
теперь вычисляем площадь с помощью определенного интеграла:
$\int\limits^4_0 {(8\sqrt{x}-x^2)} \, dx =( \frac{16x^{ \frac{3}{2} }}{ 3 } - \frac{x^3}{3}) \int\limits^4_0= \frac{16*\sqrt{4^3}}{3} - \frac{4^3}{3} -0= \frac{16*8}{3} - \frac{4^3}{3} =\\= \frac{128-64}{3} = \frac{64}{3} =21 \frac{1}{3}$
Ответ: $21 \frac{1}{3}$ ед²

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 8√x и у = x^2, мы можем использовать метод интегрирования. Сначала мы должны найти точки пересечения этих двух функций, а затем вычислить определенный интеграл между этими точками.

Найдем точки пересечения:

Уравнения у = 8√x и у = x^2 должны равняться друг другу:

8√x = x^2

Перенесем все в одну сторону:

x^2 - 8√x = 0

Теперь мы можем решить это уравнение. Воспользуемся заменой переменной: у = √x.

Тогда наше уравнение примет вид:

y^4 - 8y^2 = 0

y^2(y^2 - 8) = 0

Это даст нам два возможных значения для y: y = 0 или y = ±2√2.

Теперь мы можем найти соответствующие значения x, подставив y в уравнение y = √x:

y = √x

y^2 = x

Таким образом, мы получаем следующие точки пересечения: (0, 0), (4, 2√2) и (4, -2√2).

Вычислим площадь фигуры:

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы должны вычислить определенный интеграл между этими точками.

Площадь фигуры может быть найдена с использованием следующего интеграла:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - это значения x, соответствующие точкам пересечения, f(x) - это уравнение у = 8√x, а g(x) - это уравнение у = x^2.

Таким образом, мы можем записать наш интеграл для вычисления площади:

S = ∫[0, 4] (8√x - x^2) dx

Вычислив этот интеграл, мы найдем площадь фигуры, ограниченной линиями у = 8√x и у = x^2.

Пожалуйста, обратите внимание, что вычисление этого интеграла может быть сложным и требует знания интегрирования и соответствующих методов. Если вам нужны численные или точные значения площади, рекомендуется использовать математический пакет или программное обеспечение для выполнения этого вычисления.