Question

Найти интеграл: sin^3(2x)*cos^3(2x)dx

Answer 1

∫ ln x dx / x³=| интегрируем по частям: lnx=u; dx/x=du; dx/x³=dv; -1/(2x²)=v | =
-lnx/(2x²)+∫dx/(2x³)=-lnx/(2x²)-1/(4x²)+C

Answer 2

Для решения данного интеграла мы воспользуемся методом замены переменной.

Пусть t = sin^2(2x). Тогда dt = 2sin(2x)cos(2x)dx.

Мы можем выразить sin^3(2x)cos^3(2x)dx через t и dt следующим образом:

sin^3(2x)cos^3(2x)dx = sin^2(2x)cos^2(2x)sin(2x)cos(2x)dx = t(1 - t)sin(2x)cos(2x)dx = t(1 - t) * (1/2) * dt.

Теперь мы можем переписать исходный интеграл в новых переменных:

∫ sin^3(2x)cos^3(2x)dx = ∫ t(1 - t) * (1/2) * dt.

Раскроем скобки и упростим выражение:

∫ t(1 - t) * (1/2) * dt = (1/2) * ∫ (t - t^2) dt = (1/2) * (1/2) * t^2 - (1/2) * (1/3) * t^3 + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь мы можем вернуться к исходным переменным:

(1/2) * (1/2) * t^2 - (1/2) * (1/3) * t^3 + C = (1/4) * sin^4(2x) - (1/6) * sin^6(2x) + C.

Таким образом, итоговый ответ:

∫ sin^3(2x)cos^3(2x)dx = (1/4) * sin^4(2x) - (1/6) * sin^6(2x) + C.