Question

На средней линии трапеции авсд с основание ад и ас выбрали произвольную точку к. Докажите что сумма площадей треугольников вкс и акд равна половине площади трапеции

Answer 1

S трап. = (BC + AD) ·H/2
SΔBKC = 1/2·BC·KH1 ( BC - основание, KH1 - высота)
SΔAKD = 1/2·AD·KH2 ( AD- высота, KH2- высота)
SΔBKC+SΔAKD =1/2·BC·KH1 +1/2·AD·KH2 = 1/2 ( BC·KH1 + AD·KH2)
KH1 = KH2=1/2 H ( H - высота трапеции)
 1/2 ( BC·KH1 + AD·KH2) = 1/2·KH1(BC + AD) =
 = (ВС + AD)·1/2H /2= 1/2·S трап

Answer 2

Пусть точка К разделяет боковую сторону ВС на отрезки ВК и КС, а отрезок АК пересекает основание АД в точке М.

Так как точка К лежит на средней линии трапеции, то отрезок ВК равен отрезку КС.

Площадь треугольника ВКС равна половине произведения длин сторон ВК и КС, то есть (ВК * КС) / 2.

Площадь треугольника АКД равна половине произведения длин сторон АК и КД, то есть (АК * КД) / 2.

Так как отрезок ВК равен отрезку КС, то КД также равно АМ.

Площадь трапеции АВСД равна сумме площадей треугольников АКД и ВКС, то есть (АК * КД + ВК * КС) / 2.

Заменим КД на АМ, получим (АК * АМ + ВК * КС) / 2.

Так как отрезок ВК равен отрезку КС, то можно записать (АК * АМ + ВК * ВК) / 2.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АКВ имеем ВК^2 = АК^2 - АМ^2.

Подставим это выражение в формулу для площади трапеции: (АК * АМ + АК^2 - АМ^2) / 2.

Упростим выражение: (АК * АМ + АК^2 - АМ^2) / 2 = (АК^2 + АК * АМ - АМ^2) / 2.

Мы получили выражение, которое можно представить в виде квадрата разности двух слагаемых: ((АК + АМ)^2 - (АМ)^2) / 2.

Таким образом, площадь трапеции АВСД равна половине произведения суммы и разности длин оснований, то есть ((АК + АМ)^2 - (АМ)^2) / 2.

Очевидно, что ((АК + АМ)^2 - (АМ)^2) / 2 = (АК + АМ)^2 / 2.

Таким образом, площадь трапеции АВСД равна половине квадрата суммы длин оснований.

В итоге, сумма площадей треугольников ВКС и АКД равна половине площади трапеции АВСД.