Question

Миша, Лёша и Паша купили футбольный мяч. Известно, что каждый из них заплатил не более половины того, что заплатили двое дрегих вместе. Мяч стоил 450 рублей. Сколько заплатил каждый?

Answer 1

150 руб.
450 : 3 = 150 
проверка:
150*2 = 300 
300 : 2 = 150 
а это не больше половины

Answer 2

Предположим, что Миша заплатил х рублей, Лёша - у рублей и Паша - z рублей.

Из условия задачи известно, что каждый из них заплатил не более половины того, что заплатили двое других вместе. Это можно записать следующим образом:

х ≤ (у + z) / 2 у ≤ (х + z) / 2 z ≤ (х + у) / 2

Также известно, что стоимость мяча составляет 450 рублей:

х + у + z = 450

Теперь решим эту систему уравнений.

Сложим все три неравенства:

х + у + z ≤ (у + z) / 2 + (х + z) / 2 + (х + у) / 2 2(х + у + z) ≤ у + z + х + z + х + у 2(х + у + z) ≤ 3(х + у + z)

Так как х + у + z = 450, то:

2 * 450 ≤ 3 * 450 900 ≤ 1350

Это неравенство выполняется, поэтому система уравнений имеет решение.

Решим систему уравнений методом подстановки.

Из третьего неравенства получаем:

z ≤ (х + у) / 2 (х + у) ≥ 2z

Подставим это во второе неравенство:

у ≤ (х + z) / 2 у ≤ (х + (х + у) / 2) / 2 у ≤ (2х + у) / 4 4у ≤ 2х + у 3у ≤ 2х

Из первого неравенства получаем:

х ≤ (у + z) / 2 (у + z) ≥ 2х

Подставим это во второе неравенство:

у ≤ (х + z) / 2 у ≤ (х + (у + z) / 2) / 2 у ≤ (2х + у + z) / 4 4у ≤ 2х + у + z 3у ≤ 2х + z

Теперь объединим все неравенства:

3у ≤ 2х 3у ≤ 2х + z 4у ≤ 2х + у + z

Заметим, что первое и второе неравенства имеют одинаковую левую часть. Поэтому можно сделать вывод, что z = 0.

Теперь решим систему двух уравнений с двумя переменными:

3у ≤ 2х 4у ≤ 2х + у

Поделим второе уравнение на 4:

у ≤ 2х / 4 + у / 4 у ≤ х / 2 + у / 4 у / 4 ≤ х / 2 у ≤ 2х

Так как у ≤ 2х и 3у ≤ 2х, то можно заключить, что 3у = 2х.

Теперь подставим это в уравнение х + у + z = 450:

х + у + 0 = 450 х + у = 450

Так как 3у = 2х, то:

х + 3у = 450

Решим эту систему уравнений:

х + у = 450 х + 3у = 450

Вычтем первое уравнение из второго:

(х + 3у) - (х + у) = 450 - 450 2у = 0 у = 0

Подставим у = 0 в первое уравнение:

х + 0 = 450 х = 450

Таким образом, получаем, что Миша заплатил 450 рублей, Лёша - 0 рублей и Паша - 0 рублей.