Question

Помогите решить уравнение на множестве R. tg*x\2-5ctg*x\2=-4

Answer 1

$tg \frac{x}{2}-5*ctg \frac{x} {2}= -4$
$tg \frac{x}{2}-\frac{5}{tg \frac{x} {2}}+4 =0$
$tg \frac{x}{2} =t$
$t-\frac{5}{t}+4 =0$
$\frac{t^2+4t-5}{t}=0$
$\left \{ {{t^2+4t-5=0} \atop {t \neq 0}} \right.$
$\left \{ {{t=-5,t=1} \atop {t \neq 0}}$
$t=-5$
$t=1$

$tg \frac{x}{2} =-5$
$tg \frac{x}{2} =1$

$\frac{x}{2}=-arctg5+ \pi n,nEZ$
$\frac{x}{2}= \frac{ \pi }{4} + \pi k,kEZ$

$x=-2arctg5+ 2\pi n,nEZ$
$x= \frac{ \pi }{2} + 2\pi k, kEZ$

Answer 2

Дано уравнение:

tg(x/2) - 5ctg(x/2) = -4

Для решения этого уравнения в множестве R, мы можем использовать тригонометрические тождества и замены переменных.

Предлагаю ввести новую переменную t = tg(x/2). Тогда уравнение принимает вид:

t - 5(1/t) = -4

Домножим обе части уравнения на t, чтобы избавиться от знаменателя:

t^2 - 5 = -4t

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону:

t^2 + 4t - 5 = 0

Мы получили квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию.

Мы можем применить формулу дискриминанта для нахождения корней:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

Для уравнения t^2 + 4t - 5 = 0, коэффициенты a = 1, b = 4 и c = -5.

Вычислим дискриминант:

D = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня. Используем формулу корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √D) / (2a)

t = (-4 ± √36) / (2 * 1)

t = (-4 ± 6) / 2

Таким образом, t1 = (-4 + 6) / 2 = 1 и t2 = (-4 - 6) / 2 = -5.

Теперь мы можем подставить значения t обратно в исходное уравнение, чтобы найти значения x.

Для t1 = 1:

tg(x/2) = 1

Известно, что tg(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x)). Поэтому мы можем записать:

sin(x) / (1 + cos(x)) = 1

Перемножим обе части уравнения на (1 + cos(x)):

sin(x) = (1 + cos(x))

Раскроем скобки:

sin(x) = 1 + cos(x)

Вычитаем cos(x) из обеих частей:

sin(x) - cos(x) = 1

Теперь мы можем использовать известное тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

(1 - cos^2(x)) - cos(x) = 1

Раскроем скобки:

1 - cos^2(x) - cos(x) = 1

Перенесем все члены в левую сторону:

cos^2(x) + cos(x) = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение для cos(x). Факторизуем его:

cos(x)(cos(x) + 1) = 0

Таким образом, мы получаем два возможных значения для cos(x): cos(x) = 0 и cos(x) = -1.

Для cos(x) = 0, мы знаем, что это происходит при x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Для cos(x) = -1, мы знаем, что это происходит при x = π + kπ, где k - целое число.

Теперь мы можем найти значения x, зная значения t и используя обратные тригонометрические функции.

Для t1 = 1:

tg(x/2) = 1

Используя обратную функцию тангенса, мы получаем:

x/2 = arctg(1) = π/4 + kπ/2, где k - целое число

Таким образом, x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Для t2 = -5:

tg(x/2) = -5

Используя обратную функцию тангенса, мы получаем:

x/2 = arctg(-5) = -1.3734 + kπ, где k - целое число

Таким образом, x = -2.7468 + 2kπ, где k - целое число.

Итак, решение исходного уравнения на множестве R имеет вид:

x = π/2 + kπ, где k - целое число, и x = -2.7468 + 2kπ, где k - целое число.

Примечание: В данном ответе использовалась символика π для обозначения числа Пи, а k для обозначения целых чисел. Если требуется более точное численное приближение, можно использовать приближенное значение числа Пи и решить полученные уравнения численно.