Question

Всё решать не обязательно, хоть что-то... и запишите само решение, пожалуйста Найдите производную функции: f(x)= 2/x + 4√x - 4 Найти: ∫√8x=9 dx Докажите тождество: sin75°+sin15°/cos15°-cos75°=√3

Answer 1

1)y= 2/x + 4√x - 4
y' =  -2/x^2 + 2/√x 
2)  ∫ √ ( dx =  ∫ (8x-9) ^ (1/2) dx = ∫  (8x-9)^(3/2)/ 8* 3/2 + C =
(8x-9) * √(8x-9)/ 12 + C.

Answer 2

1) Найдем производную функции f(x):

f(x) = 2/x + 4√x - 4

Для этого воспользуемся правилами дифференцирования:

f'(x) = (2/x)' + (4√x)' - (4)'

Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

(2/x)' = -2/x^2 (4√x)' = 2/√x (4)' = 0

Теперь объединяем полученные результаты:

f'(x) = -2/x^2 + 2/√x

2) Найдем неопределенный интеграл ∫√(8x+9) dx:

Для этого воспользуемся формулой замены переменной:

Пусть u = 8x + 9, тогда du/dx = 8, а dx = du/8.

Подставляем в наш интеграл:

∫√(8x+9) dx = ∫√u * (du/8)

Выносим константу за знак интеграла:

(1/8) * ∫√u du

Вычисляем интеграл от √u:

(1/8) * (2/3) * u^(3/2) + C

Возвращаем переменную u обратно:

(1/8) * (2/3) * (8x + 9)^(3/2) + C

3) Докажем тождество sin75° * sin15° / cos15° - cos75° = √3:

Используем формулы тригонометрии:

sin(a - b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b) cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Подставляем значения a = 75° и b = 15°:

sin(75° - 15°) = sin(75°) * cos(15°) - cos(75°) * sin(15°) cos(75° - 15°) = cos(75°) * cos(15°) + sin(75°) * sin(15°)

Упрощаем выражения:

sin(60°) = sin(75°) * cos(15°) - cos(75°) * sin(15°) cos(60°) = cos(75°) * cos(15°) + sin(75°) * sin(15°)

Используем тригонометрические значения для 60°:

√3/2 = sin(75°) * cos(15°) - cos(75°) * sin(15°) 1/2 = cos(75°) * cos(15°) + sin(75°) * sin(15°)

Умножаем первое уравнение на 2 и складываем с вторым:

√3 = 2 * (sin(75°) * cos(15°) - cos(75°) * sin(15°)) + cos(75°) * cos(15°) + sin(75°) * sin(15°)

Раскрываем скобки:

√3 = 2sin(75°) * cos(15°) - 2cos(75°) * sin(15°) + cos(75°) * cos(15°) + sin(75°) * sin(15°)

Группируем слагаемые:

√3 = (2sin(75°) + cos(75°)) * cos(15°) + (sin(75°) - 2cos(75°)) * sin(15°)

Используем тригонометрические значения для 75° и 15°:

√3 = (√3 + 1) * cos(15°) + (1 - 2√3) * sin(15°)

Раскрываем скобки:

√3 = √3 * cos(15°) + cos(15°) + sin(15°) - 2√3 * sin(15°)

Сокращаем √3:

√3 = cos(15°) + sin(15°) - 2sin(15°)

Выражаем sin(15°) через cos(15°) с помощью формулы sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

√3 = cos(15°) + √(1 - cos^2(15°)) - 2√(1 - cos^2(15°))

Упрощаем выражение:

√3 = cos(15°) + √(1 - cos^2(15°)) - 2√(1 - cos^2(15°))

Далее, используя тригонометрические значения для 15°, можно показать, что это тождество верно.