Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна корень из 65. один из катетов на 75% больше другого. Найдите катеты и биссектрису прямоугольного угла

Answer 1

Один из катетов на 75% больше другого. Значит, один x, второй 1,75x.
x^2 + (1,75x)^2 = (√65)^2 = 65
x^2 + 3,0625x^2 = 65
x^2 = 65/4,0625 = 16
x = 4 - это короткий катет.
1,75x = 1,75*4 = 7 - это длинный катет.
Полупериметр p = (a+b+c)/2 = (4+7+√65)/2 = (11+√65)/2
Биссектриса прямого угла по формуле:
$l_c= \frac{2 \sqrt{abp(p-c)} }{a+b} = \frac{2 \sqrt{4*7*(11+ \sqrt{65} )/2(11- \sqrt{65} )/2} }{4+7} = \frac{2 \sqrt{7(121-65)} }{11} =$
$= \frac{2 \sqrt{7*56} }{11}= \frac{2 \sqrt{7*7*8} }{11} = \frac{2*7*2 \sqrt{2} }{11}= \frac{28}{11} * \sqrt{2}$

Answer 2

Пусть один из катетов треугольника равен x. Тогда другой катет будет равен 1.75x, так как он на 75% больше первого катета.

Используя теорему Пифагора, мы можем написать уравнение:

x^2 + (1.75x)^2 = 65

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x^2 + 3.0625x^2 = 65

4.0625x^2 = 65

x^2 = 65 / 4.0625

x^2 = 16

x = √16

x = 4

Таким образом, один из катетов равен 4, а другой катет равен 1.75 * 4 = 7.

Чтобы найти биссектрису прямого угла, мы можем использовать формулу:

bisector = (гипотенуза * другой катет) / (гипотенуза + другой катет)

bisector = (√65 * 7) / (√65 + 7)

bisector = 7√65 / (√65 + 7)

Таким образом, биссектриса прямого угла равна 7√65 / (√65 + 7).