Question

Найти первообразную 2х^2, x^2-4x+5, 8х-х^2, 3/х+2, 2/х^2

Answer 1

Решение в предложенном файле

Answer 2

Первообразная функции

Первообразная функции, также известная как антипроизводная, является обратной операцией для дифференцирования. Если функция F(x) является первообразной функцией для функции f(x), то это означает, что f(x) является производной для функции F(x).

Чтобы найти первообразную функции, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна данной функции. Вот как это делается для каждой из заданных функций:

1. Функция: 2x^2 Для нахождения первообразной функции 2x^2, мы используем формулу интеграла степенной функции. Интеграл функции x^n равен (1/(n+1)) * x^(n+1) + C, где C - произвольная постоянная. В данном случае, функция 2x^2 имеет степень n = 2, поэтому первообразная функции будет (1/3) * x^3 + C.

2. Функция: x^2 - 4x + 5 Для нахождения первообразной функции x^2 - 4x + 5, мы разбиваем функцию на сумму трех отдельных функций: x^2, -4x и 5. Затем мы находим первообразные для каждой из этих функций, используя формулу интеграла степенной функции. Первообразная для x^2 будет (1/3) * x^3 + C1, для -4x будет -2 * x^2 + C2, а для 5 будет 5x + C3. Суммируя эти первообразные функции, получим искомую первообразную для функции x^2 - 4x + 5: (1/3) * x^3 - 2 * x^2 + 5x + C.

3. Функция: 8x - x^2 Для нахождения первообразной функции 8x - x^2, мы разбиваем функцию на сумму двух отдельных функций: 8x и -x^2. Затем мы находим первообразные для каждой из этих функций, используя формулу интеграла степенной функции. Первообразная для 8x будет 4 * x^2 + C1, а для -x^2 будет -(1/3) * x^3 + C2. Суммируя эти первообразные функции, получим искомую первообразную для функции 8x - x^2: 4 * x^2 - (1/3) * x^3 + C.

4. Функция: 3/x + 2 Функция 3/x + 2 имеет два слагаемых: 3/x и 2. Для первого слагаемого, мы используем формулу интеграла логарифмической функции. Интеграл функции 1/x равен ln|x| + C. Таким образом, первообразная функции 3/x будет 3 * ln|x| + C1. Для второго слагаемого, первообразная будет просто 2x + C2. Суммируя эти первообразные функции, получим искомую первообразную для функции 3/x + 2: 3 * ln|x| + 2x + C.

5. Функция: 2/x^2 Для нахождения первообразной функции 2/x^2, мы используем формулу интеграла обратной степенной функции. Интеграл функции 1/x^n равен (-1/(n-1)) * x^(n-1) + C. В данном случае, функция 2/x^2 имеет степень n = 2, поэтому первообразная функции будет (-1/2) * x^(-1) + C. Упрощая это выражение, получим -1/(2x) + C.

Вывод

Таким образом, первообразные функции для заданных функций будут:

- 2x^2: (1/3) * x^3 + C - x^2 - 4x + 5: (1/3) * x^3 - 2 * x^2 + 5x + C - 8x - x^2: 4 * x^2 - (1/3) * x^3 + C - 3/x + 2: 3 * ln|x| + 2x + C - 2/x^2: -1/(2x) + C

Где C - произвольная постоянная.