Question

1)Сечение шара – большой круг, площадь которого равна 144/225 π 〖см〗^2. Вычислить площадь сферы и объём шара. 2)Боковая грань правильной прямой шестиугольной призмы – прямоугольник с диагональю 12см, шириной 6√3см. Вычислить площадь полной поверхности и объём призмы. 3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^3+6x^2+10x, x=-3,x=2

Answer 1

1)Sкруга=piR^2=144/255pi
R=sqrt(144/225)=12/25
Vшара= 4/3piR^3
Scферы=2piR^2=288/255pi
2)Высота призмы: sqrt(144-108)=6
Sоснования=3*sqrt(3)/2*a^2=162см^2
Vпризмы=H*Sоснования=162*6=972см^3
Sполная=2*Sоснования+6*Sбок=2*162+6*36*sqrt(3)=324+216*sqrt(3)

Answer 2

1) Вычисление площади сферы и объема шара:

Дано, что площадь большого круга, который является сечением шара, равна 144/225 π см^2. Чтобы вычислить площадь сферы и объем шара, мы можем использовать следующие формулы:

Площадь сферы (S) вычисляется по формуле:

S = 4πr^2

где r - радиус сферы.

Объем шара (V) вычисляется по формуле:

V = (4/3)πr^3

Для начала найдем радиус шара.

Площадь большого круга равна 144/225 π см^2, поэтому:

πr^2 = 144/225 π

Деля обе части уравнения на π, получаем:

r^2 = 144/225

Возведем обе части уравнения в квадрат:

r^2 = (12/15)^2

Упрощаем:

r^2 = 16/25

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

r = 4/5

Теперь, когда у нас есть радиус шара, мы можем вычислить площадь сферы и объем шара:

S = 4π(4/5)^2 = 16π/5 = 3.2π см^2

V = (4/3)π(4/5)^3 = 256π/375 = 0.682666π см^3

Таким образом, площадь сферы составляет 3.2π см^2, а объем шара составляет 0.682666π см^3.

2) Вычисление площади полной поверхности и объема призмы:

Дано, что боковая грань правильной прямой шестиугольной призмы является прямоугольником с диагональю 12 см и шириной 6√3 см.

Чтобы вычислить площадь полной поверхности и объем призмы, мы можем использовать следующие формулы:

Площадь полной поверхности (S) вычисляется по формуле:

S = 2B + L

где B - площадь основания, L - периметр основания.

Объем призмы (V) вычисляется по формуле:

V = Bh

где B - площадь основания, h - высота призмы.

Для начала найдем площадь основания и периметр основания.

Ширина (w) прямоугольника равна 6√3 см, а диагональ (d) равна 12 см. Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины прямоугольника:

w^2 + h^2 = d^2

(6√3)^2 + h^2 = 12^2

108 + h^2 = 144

h^2 = 36

h = 6

Теперь, когда у нас есть ширина и высота прямоугольника, мы можем вычислить площадь основания и периметр основания:

B = w * h = 6√3 * 6 = 36√3 см^2

P = 2w + 2h = 2(6√3) + 2(6) = 12√3 + 12 см

Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности и объем призмы:

S = 2B + L = 2(36√3) + (12√3 + 12) = 72√3 + 12 + 12√3 = 84√3 + 24 см^2

V = Bh = (36√3)(6) = 216√3 см^3

Таким образом, площадь полной поверхности призмы составляет 84√3 + 24 см^2, а объем призмы составляет 216√3 см^3.

3) Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями:

Фигура ограничена линиями y = x^3 + 6x^2 + 10x, x = -3 и x = 2.

Чтобы вычислить площадь фигуры, мы можем использовать определенный интеграл:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) и g(x) - функции, ограничивающие фигуру, a и b - границы фигуры.

В данном случае, f(x) = x^3 + 6x^2 + 10x и g(x) = 0, a = -3 и b = 2.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:

S = ∫[-3, 2] (x^3 + 6x^2 + 10x) dx

Проинтегрируем это выражение:

S = [1/4x^4 + 2x^3 + 5x^2] [-3, 2]

S = (1/4(2)^4 + 2(2)^3 + 5(2)^2) - (1/4(-3)^4 + 2(-3)^3 + 5(-3)^2)

S = (1/4 * 16 + 2 * 8 + 5 * 4) - (1/4 * 81 + 2 * -27 + 5 * 9)

S = (4 + 16 + 20) - (81/4 - 54 + 45)

S = 40 - (81/4 - 54 + 45)

S = 40 - (81/4 - 54 + 45/1)

S = 40 - (81/4 - 216/4 + 45/1)

S = 40 - (81 - 216 + 180)/4

S = 40 - (-45)/4

S = 40 + 45/4

S = 40 + 11.25

S = 51.25

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3 + 6x^2 + 10x, x = -3 и x = 2, составляет 51.25 квадратных единиц.