Question

Xy'+y=cosx Диф уравнение первого порядка ПОМОГИТЕЕЕЕ

Answer 1

$\displaystyle xy'+y=\cos x\\ \\ \\ x\cdot \frac{dy}{dx} + \frac{dx}{dx} \cdot y=\cos x\\ \\ \\ \frac{d(x\cdot y)}{dx}=\cos x$

$d(xy)=\cos x dx$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$xy=\sin x +C$ - общий интеграл

$y= \dfrac{\sin x +C}{x}$ - общее решение

Answer 2

$xy'+y=cosx\; |:x\ne 0\\\\y'+\frac{y}{x}=\frac{cosx}{x}$

Линейное дифф. уравнение 1 порядка.
Ищем решение в виде произведения:

$y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+\frac{uv}{x}= \frac{cosx}{x} \\\\u'v+u(v'+\frac{v}{x})= \frac{cosx}{x} \\\\a)\; \; \frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} \; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v} =-\int \frac{dx}{x} \\\\ln|v|=-ln|x|\; \; \; \Rightarrow \; \; \; v=x^{-1}=\frac{1}{x}\\\\b)\; \; u'\cdot \frac{1}{x} = \frac{cosx}{x} \\\\ \frac{du}{dx} =cosx\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \int du=\int cosx\, dx\\\\u=sinx+C\\\\c)\; \; y=\frac{1}{x}\cdot (sinx+C)$

Answer 3

Я могу помочь вам с дифференциальными уравнениями первого порядка. Ваше уравнение имеет вид Xy'+y=cosx. Это линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Для его решения нужно найти интегрирующий множитель, который имеет вид $$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$$, где $$P(x)$$ - коэффициент при $$y$$ в исходном уравнении. В вашем случае $$P(x)=\frac{1}{x}$$. Подробнее об этом методе можно прочитать в [Википедии](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5). После нахождения интегрирующего множителя нужно умножить обе части уравнения на него и получить уравнение вида $$\frac{d}{dx}(\mu(x)y)=\mu(x)Q(x)$$, где $$Q(x)$$ - правая часть исходного уравнения. В вашем случае $$Q(x)=\cos x$$. Далее нужно проинтегрировать обе части уравнения и найти общее решение. В вашем случае оно имеет вид $$y=\frac{C}{x}+\frac{\sin x}{x}$$. Здесь $$C$$ - произвольная постоянная. Если вам нужно найти частное решение, то вам нужно знать начальное условие, например, значение $$y$$ при каком-то $$x$$. Надеюсь, это поможет вам решить вашу задачу. Если у вас есть еще вопросы, я рад помочь.