Question

Log2(x-5)+log2(x+2)=3

Answer 1

ОДЗ
$\left \{ {{x-5\ \textgreater \ 0} \atop {x+2\ \textgreater \ 0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x\ \textgreater \ 5} \atop {x\ \textgreater \ -2}} \right. \\ \\ x\ \textgreater \ 5$

$log_2(x-5)+log_2(x+2)=3 \\ \\ log_2(x-5)(x+2)=3 \\ \\ (x+2)(x-5)=2^3 \\ \\ x^{2} -5x+2x-10=8 \\ \\ x^{2} -3x-18=0 \\ \\ D=3^2+4*18= 81 \\ \\ x_1= \frac{3+9}{2}=6 \\ \\ x_2=\frac{3-9}{2}=-3$ 

х₂=-3 не удовлетворяет ОДЗ

Ответ х=6

Answer 2

Для решения уравнения `log2(x-5) + log2(x+2) = 3`, мы можем использовать свойства логарифмов и алгебраические методы. Отметим, что данное уравнение содержит два логарифма с одинаковым основанием, поэтому мы можем применить свойство логарифма, которое гласит, что `log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)`.

Используя это свойство, мы можем переписать уравнение следующим образом:

`log2((x-5)*(x+2)) = 3`

Далее, чтобы избавиться от логарифма, мы можем применить обратную функцию экспоненты с основанием 2 к обеим сторонам уравнения:

`2^log2((x-5)*(x+2)) = 2^3`

`((x-5)*(x+2)) = 8`

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых:

`x^2 - 3x - 10 = 8`

`x^2 - 3x - 18 = 0`

Теперь мы можем попытаться решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, метода квадратного корня или используя формулу дискриминанта.

Если мы попытаемся факторизовать это уравнение, мы не найдем два числа, которые в сумме дают -3 и в произведении дают -18. Поэтому нам придется использовать формулу дискриминанта.

Формула дискриминанта для квадратного уравнения `ax^2 + bx + c = 0` выглядит следующим образом:

`D = b^2 - 4ac`

В нашем случае `a = 1`, `b = -3` и `c = -18`. Подставим значения в формулу дискриминанта:

`D = (-3)^2 - 4*1*(-18)`

`D = 9 + 72`

`D = 81`

Так как дискриминант `D` положительный, у нас есть два вещественных корня. Используем формулу для нахождения корней:

`x = (-b ± √D) / (2a)`

`x = (-(-3) ± √81) / (2*1)`

`x = (3 ± 9) / 2`

Таким образом, мы получаем два значения для `x`:

`x1 = (3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6`

`x2 = (3 - 9) / 2 = -6 / 2 = -3`

Таким образом, решения уравнения `log2(x-5) + log2(x+2) = 3` равны `x = 6` и `x = -3`. Проверим эти значения подстановкой в исходное уравнение:

При `x = 6`:

`log2(6-5) + log2(6+2) = 3`

`log2(1) + log2(8) = 3`

`0 + 3 = 3`

Условие выполняется.

При `x = -3`:

`log2(-3-5) + log2(-3+2) = 3`

Здесь мы сталкиваемся с проблемой, так как логарифм отрицательного числа не определен в действительных числах. Поэтому `x = -3` не является решением исходного уравнения.

Таким образом, решением уравнения `log2(x-5) + log2(x+2) = 3` является `x = 6`.