Question

Решить систему уравнений logy(x)+logx(y)=2.5 x*y=27

Answer 1

X*y=27⇒x=27/y
$\log_{y}x+log_{x}y=2.5$
$\ \frac{1}{log_{x}y}+log_{x}y-2.5=0$
$1+\log^2_{x}y-2.5log_{x}y=0$
$\log_{x}y=z$
z²-2.5z+1=0
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
D = b² - 4ac = (-2.5)² - 4·1·1 = 6.25 - 4 = 2.25
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
z₁ = (2.5 - √2.25)/2·1 = (2.5 - 1.5)/2 = 1/2 = 0.5
z₂ = (2.5 + √2.25)/2·1 = (2.5 + 1.5)/2 = 4/2 = 2
учитывая подстановку
$\log_{x}y=z$
$\log_{x}y=0.5$ или $\log_{x}y=2$
$x^{0.5}=y$
√x=y но х=27/у⇒у=√(27/у)
у√у=√27 (при условии что √у≠0)
√у³=27
у³=27
у₁=∛27=3
$x^{2}=y$
x²=y но х=27/у⇒у=(27/у)²
у²у=27² (при условии что у²≠0)
у³=729
у₂=∛729=9
x₁=27/3=9
x₂=27/9=3
ответ
(9;3) и (3;9) решения системы уравнений

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод замены переменных. Давайте представим уравнение logy(x) как u, а logx(y) как v. Тогда у нас будет система уравнений:

u + v = 2.5 xy = 27

Теперь мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы переписать уравнения в другом виде. Например, logy(x) можно записать как x^(1/y), а logx(y) как y^(1/x). Теперь наши уравнения выглядят следующим образом:

x^(1/y) * y^(1/x) = 27 x * y = 27

Теперь мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую. Давайте выразим y через x:

y = 27 / x

Теперь мы можем подставить это выражение в первое уравнение:

x^(1/(27/x)) * (27/x)^(1/x) = 27 x^(x/27) * (27/x)^(1/x) = 27

Теперь мы можем возвести обе части уравнения в степень 27x, чтобы избавиться от знаменателя:

x^x * (27/x)^(27) = 27^(27x)

Теперь мы можем упростить уравнение, возводя обе части в нужные степени:

x^x * 27^27 = 27^(27x) * x^27 x^x * 27^27 = 27^(27x) * x^27

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить численно, используя методы численной оптимизации или графическое решение. Полученное значение x мы можем подставить в выражение для y и получить решение системы уравнений.