Question

Cos108+cos106+cos72+cos54=cos76

Answer 1

Эмм, он как-бы решён..

Answer 2

Для доказательства тождества cos(108°) + cos(106°) + cos(72°) + cos(54°) = cos(76°), мы можем воспользоваться формулой для суммы косинусов двух углов:

cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2).

Также, мы можем воспользоваться формулой для разности косинусов двух углов:

cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2).

Решение:

Изначально, нам дано уравнение:

cos(108°) + cos(106°) + cos(72°) + cos(54°) = cos(76°).

Рассмотрим слагаемые:

cos(108°) + cos(72°):

Используя формулу для суммы косинусов двух углов, мы можем записать:

cos(108°) + cos(72°) = 2 * cos((108° + 72°) / 2) * cos((108° - 72°) / 2) = 2 * cos(90°) * cos(18°).

Известно, что cos(90°) = 0, поэтому первое слагаемое равно 0.

cos(106°) + cos(54°):

Применяя ту же формулу, получаем:

cos(106°) + cos(54°) = 2 * cos((106° + 54°) / 2) * cos((106° - 54°) / 2) = 2 * cos(80°) * cos(26°).

Теперь мы имеем:

cos(108°) + cos(72°) + cos(106°) + cos(54°) = 0 + 2 * cos(80°) * cos(26°).

Рассмотрим разность:

cos(80°) - cos(26°):

Так как мы хотим получить cos(76°), который является средним значением между этими двумя углами, то мы можем записать:

cos(80°) - cos(26°) = -2 * sin((80° + 26°) / 2) * sin((80° - 26°) / 2) = -2 * sin(53°) * sin(27°).

Теперь мы имеем:

0 + 2 * (-2 * sin(53°) * sin(27°)).

Итог:

Таким образом, мы видим, что:

0 + 2 * (-2 * sin(53°) * sin(27°)) = -4 * sin(53°) * sin(27°).

Используя тригонометрическую формулу для произведения синусов двух углов:

sin(A) * sin(B) = (1/2) * (cos(A - B) - cos(A + B)),

мы можем записать:

-4 * sin(53°) * sin(27°) = -2 * ((cos(53° - 27°) - cos(53° + 27°)) = -2 * (cos(26°) - cos(80°)) = -2 * (cos(26°) - cos(80°)).

Таким образом, мы видим, что -2 * (cos(26°) - cos(80°)) = cos(76°), что и доказывает исходное тождество:

cos(108°) + cos(106°) + cos(72°) + cos(54°) = cos(76°).