Question

Решить задачу: четырехугольник АВСД вписан в окружность. На продолжении диагонали ВД за точку Д выбрана точка Ф такая, что АФ параллельна ВС. Докажите, что окружность, описанная около треугольника АДФ, касается прямой АС.

Answer 1

Угол А+уголД=180-36=144, угол АНВ=180-68=112, он также равен полусумме двух дуг АВ и ДС, то есть (дугаАВ+дуга ДС)/2=112. Сумма углов А и Д равна полусумме дуг на которые они опираются то есть (дуга ВС+дуга ДС)/2+(дуга АВ+ дугаВС)/2=144.  Подставляем ранее полученное значение (дуга АВ+дуга ДС)/2=112., получим 112+2ВС/2=144. Отсюда ВС=32, вписанный угол ВАС опирается на эту дугу и равен её половине то есть угол ВАС=32/2=16.

Answer 2

Задача:

Дан четырехугольник ABCD, который вписан в окружность. На продолжении диагонали ВД за точку Д выбрана точка Ф такая, что АФ параллельна ВС. Нужно доказать, что окружность, описанная около треугольника АДФ, касается прямой АС.

Решение:

Для доказательства данного утверждения, мы можем использовать свойство касательной, которое гласит, что касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.

Давайте рассмотрим треугольник АДФ. Мы знаем, что АФ параллельна ВС. Поэтому угол АФД равен углу ВСД (по свойству параллельных прямых и пересекающихся прямых). Также, угол АДФ является внешним углом треугольника ВСД, и он равен сумме углов ВСД и ВДС.

Таким образом, у нас есть следующие равенства углов: - Угол АФД = Угол ВСД - Угол АДФ = Угол ВСД + Угол ВДС

Теперь давайте рассмотрим треугольник АСД. Мы знаем, что он вписан в окружность, поэтому угол ВСД является половиной угла АСД (по свойству вписанного угла). Также, угол ВДС является половиной угла АДС.

Таким образом, у нас есть следующие равенства углов: - Угол ВСД = 0.5 * Угол АСД - Угол ВДС = 0.5 * Угол АДС

Теперь сравним углы треугольников АДФ и АСД: - Угол АФД = Угол ВСД = 0.5 * Угол АСД - Угол АДФ = Угол ВСД + Угол ВДС = 0.5 * Угол АСД + 0.5 * Угол АДС = 0.5 * (Угол АСД + Угол АДС)

Мы видим, что углы АФД и АДФ являются половинами суммы углов АСД и АДС. Это означает, что треугольники АДФ и АСД подобны.

Теперь давайте рассмотрим окружность, описанную около треугольника АДФ. Пусть центр этой окружности будет точкой О. Тогда радиус этой окружности будет равен расстоянию от центра О до любой из вершин треугольника АДФ.

Так как треугольники АДФ и АСД подобны, то отношение радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, будет равно отношению соответствующих сторон треугольников. То есть:

Радиус окружности, описанной около треугольника АДФ / Радиус окружности, описанной около треугольника АСД = АФ / АС

Так как АФ параллельна ВС, то АФ и АС являются соответствующими сторонами подобных треугольников АДФ и АСД. Поэтому отношение АФ / АС равно отношению радиусов окружностей.

Таким образом, мы доказали, что окружность, описанная около треугольника АДФ, касается прямой АС.

Ответ:

Окружность, описанная около треугольника АДФ, касается прямой АС.